本帖最后由 hbghlyj 于 2020-6-7 22:48 编辑
D关于AB,BC的对称点为$D_c,D_a$,直线$D_cD_a$交AO,BC于M,P,求证:ABCD共圆$\Leftrightarrow$DMOP共圆
∵BD=BDc=BDa
∴∠[PM,AB] = ∠[DDa,DB]
∴∠[DDc,DB]=∠[DDc,DDa] + ∠[DDa,DB]= ∠[BA,BP]+∠[PDc,AB]=∠[PDc,PB]
∴BDDcP共圆
∵∠[OM,ADc] =∠[OM,AB] +∠[AB,ADc]=∠[BA,BO]+∠[AD,AB] = ∠[AD,BO]
∠[BD,ADc] =∠[DB,DDc] +∠[DcD,DcA] =∠[DcD,DcB]+∠[DA,DDc]= ∠[AD,BDc]
∴∠[OM,BD] =∠[BDc,BO]
∴∠[OM,BDc]=∠[BD,BO]= ∠[DO,DB]
∴∠[OM,OD] = ∠[BDc,BD]
∵∠[PM,BC] =∠[PM,AB] -∠[BC,BA]=∠[DDa,DB]-∠[DDa,DDc]= ∠[DDc,BD]
∴∠[PM,DDc]=∠[BC,BD]
∴∠[PM,PD] =∠[PM,DDc]+∠[DDc,PD]=∠[BC,BD]+∠[BDc,BC]= ∠[BDc,BD]=∠[OM,OD]
∴MOPD共圆 |