与之对应的是内切圆的:
命题 2:设 `a`, `b`, `m`, `n>0`, `m/a+n/b=1`,则
\[a+b-\sqrt{a^2+b^2}\leqslant2\bigl( m+n-\sqrt{2mn} \bigr).\]
证明:条件即 `ab=mb+na`,故
\[LHS=\frac{2ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2(mb+na)}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}},\]所以等价于证
\[mb+na\leqslant\bigl( m+n-\sqrt{2mn} \bigr)\bigl( a+b+\sqrt{a^2+b^2} \bigr),\]展开整理变成
\[\bigl( m+n-\sqrt{2mn} \bigr)\sqrt{a^2+b^2}\geqslant\bigl( \sqrt{2mn}-m \bigr)a+\bigl( \sqrt{2mn}-n \bigr)b,\quad(*)\]容易验证有
\[\bigl( m+n-\sqrt{2mn} \bigr)^2=\bigl( \sqrt{2mn}-m \bigr)^2+\bigl( \sqrt{2mn}-n \bigr)^2,\]从而由 CS 可知不等式成立。
需要指出的是,要使命题 2 的不等式能取等,需要式 (*) 右边的系数都为正,即 `\sqrt{2mn}>m` 且 `\sqrt{2mn}-n`,也就是要有 `m/n\in (1/2,2)` 的前提下才能取等。(与《撸题集》P.757 题目 5.5.1 的结论相符) |