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[函数] 一道三角求值题

本帖最后由 lemondian 于 2020-6-3 20:48 编辑

一道三角求值题:
求$\cos\dfrac{\pi}{11}cos\dfrac{2\pi}{11}\cdots cos\dfrac{10\pi}{11}$的值。
另:能不能推广呢?
(1)求$\prod_{k=1}^{2n}\cos\dfrac{k\pi}{2n+1}$的值.(话说连乘符号,是不是这样搞?);
(2)求$\prod_{k=1}^{2n}\sin\dfrac{k\pi}{2n+1}$的值.
(3)(1)求$\prod_{k=1}^{2n}\tan\dfrac{k\pi}{2n+1}$的值.
不好意思,是改成这样吧?
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三角函数、对数函数的函数名前面都要加\,怎么都写成变量的形式?$cos$ 表示 $c\cdot o\cdot s$(三个变量的乘积),跟 $\cos$ 不是一个意思。

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[函数] 再扯一类三角恒等式
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[函数] tan的一个小结论
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[函数] 三角恒等式
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三角函数、对数函数的函数名前面都要加\,怎么都写成变量的形式?$cos$ 表示 $c\cdot o\cdot s$(三个变量 ...
hejoseph 发表于 2020-6-3 10:51
我又想起了这帖 http://kuing.orzweb.net/redirect ... 33631&ptid=6539

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坛子里有几个老会员,像函数名称这样的小问题总是不改的。
所以,我觉得这个有点像学数学,追求极致的话,是需要注意细节的,否则总是在差不多时,在差不多的题的下中翻车

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虽然楼主也是老人了,不过,估计看大家都来灌水,或者给出的链接也是一片一片的吓人,,我来理下楼原始题吧。

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求值$$x=\cos\frac{\pi}{11}\cos\frac{2\pi}{11}\cos\frac{3\pi}{11}\cos\frac{4\pi}{11}\cos\frac{5\pi}{11}\cdots \cos\frac{10\pi}{11}.$$

记$$A=\cos\alpha\cos 2\alpha\cos 3\alpha\cos 4\alpha\cos 5\alpha,\alpha=\frac{\pi}{11}.$$



\begin{align*}
x&=\cos\frac{\pi}{11}\cos\frac{2\pi}{11}\cos\frac{3\pi}{11}\cos\frac{4\pi}{11}\cos\frac{5\pi}{11}\cdots \cos\frac{10\pi}{11}\\[1em]
&=-\cos^2\alpha\cos^2 2\alpha\cos^2 3\alpha\cos^2 4\alpha\cos^2 5\alpha\\[2em]
&=-A^2
\end{align*}

下面化简$A$即可。

\begin{align*}
A&=\cos\alpha\cos 2\alpha\cos 3\alpha\cos 4\alpha\cos 5\alpha,\alpha=\frac{\pi}{11}\\[1em]
&=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha\cos 2\alpha\cos 3\alpha\cos 4\alpha\cos 5\alpha}{2\sin\alpha}\\[1em]
&=\frac{\sin8\alpha\cos 3\alpha\cos 5\alpha}{8\sin\alpha}\\[1em]
&=-\frac{\sin3\alpha\cos 3\alpha\cos 6\alpha}{8\sin\alpha}\\[1em]
&=-\frac{\sin12\alpha}{32\sin\alpha}\\[1em]
&=\frac 1{32}
\end{align*}

于是$$x=-A^2=\frac 1{1024}.$$

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回复 7# isee
谢谢!

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本帖最后由 lemondian 于 2020-6-3 20:49 编辑

如果能证到以下两个结论的话,就能做好多事了
1.\[\prod_{k=1}^n\sin\dfrac{k\pi}{2n+1}=\dfrac{\sqrt{2n+1}}{2^n}\]
2. \[\prod_{k=1}^n\cos\dfrac{k\pi}{2n+1}=\dfrac{1}{2^n}\]

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... 或者给出的链接也是一片一片的吓人,, ...
isee 发表于 2020-6-3 12:54
那些链接(以及链接里的链接)我估计楼主也都看过。

然鹅,每次的问题虽然相近但又有些不同,每次都引用不同链接的结论,每次处理时又会有些改变,要消化完是有点难……

更重要的是,引用几回结论后难免有些地方会绕了弯路,比如这回如果像之前那样引用 tid=4148 里 cot 的结论再变换到 cos 就是弯了,这里可以直接 cos ,所以这回我还是从头开始撸……

方程 `z^{2n+1}=1` 的 `2n+1` 个根为
\[z_k=\cos\frac{2k\pi}{2n+1}+i\sin\frac{2k\pi}{2n+1},\quad k\in\{0,1,2,\ldots,2n\},\]记
\[x_k=\cos\frac{k\pi}{2n+1},\]由棣莫弗定理,有
\[z_k=\frac{\cos\frac{k\pi}{2n+1}+i\sin\frac{k\pi}{2n+1}}{\cos\frac{-k\pi}{2n+1}+i\sin\frac{-k\pi}{2n+1}}=\frac{x_k+i\sqrt{1-x_k^2}}{x_k-i\sqrt{1-x_k^2}},\quad k\in\{0,1,2,\ldots,2n\},\]将 `i` 写成 `\sqrt{-1}`,可知方程
\[\bigl( x+\sqrt{x^2-1} \bigr)^{2n+1}=\bigl( x-\sqrt{x^2-1} \bigr)^{2n+1}\]的 `2n+1` 个根为 `x_k`, `k\in\{0,1,2,\ldots,2n\}`,对上式用二项式定理展开,可知
\[\frac{\text左-\text右}{2\sqrt{x^2-1}}=C_{2n+1}^1x^{2n}+C_{2n+1}^3x^{2n-2}(x^2-1)+C_{2n+1}^5x^{2n-4}(x^2-1)^2+\cdots+C_{2n+1}^{2n+1}(x^2-1)^n,\]右边关于 `x` 都是偶次,作置换 `x^2\to x`,即方程
\[C_{2n+1}^1x^n+C_{2n+1}^3x^{n-1}(x-1)+C_{2n+1}^5x^{n-2}(x-1)^2+\cdots+C_{2n+1}^{2n+1}(x-1)^n=0\]的 `n` 个根为 `x_k^2`, `k\in\{1,2,\ldots,n\}`,最高次项系数为 `C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+\cdots+C_{2n+1}^{2n+1}=4^n`,于是就有
\begin{align*}
&C_{2n+1}^1x^n+C_{2n+1}^3x^{n-1}(x-1)+C_{2n+1}^5x^{n-2}(x-1)^2+\cdots+C_{2n+1}^{2n+1}(x-1)^n\\
={}&4^n\left( x-\cos^2\frac\pi{2n+1} \right)\left( x-\cos^2\frac{2\pi}{2n+1} \right)\cdots\left( x-\cos^2\frac{n\pi}{2n+1} \right),
\end{align*}令 `x=0` 得
\[\cos\frac\pi{2n+1}\cos\frac{2\pi}{2n+1}\cdots\cos\frac{n\pi}{2n+1}=\frac1{2^n},\]令 `x=1` 得
\[\sin\frac\pi{2n+1}\sin\frac{2\pi}{2n+1}\cdots\sin\frac{n\pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n}.\]
如果对二项式展开之前的方程作置换的话,就是当 `x\ne1` 时
\begin{align*}
&\left( x-\cos^2\frac\pi{2n+1} \right)\left( x-\cos^2\frac{2\pi}{2n+1} \right)\cdots\left( x-\cos^2\frac{n\pi}{2n+1} \right)\\
={}&\frac{\bigl( \sqrt x+\sqrt{x-1} \bigr)^{2n+1}-\bigl( \sqrt x-\sqrt{x-1} \bigr)^{2n+1}}{4^n\cdot2\sqrt{x-1}},
\end{align*}再作置换 `x\to x+1` 得
\begin{align*}
&\left( x+\sin^2\frac\pi{2n+1} \right)\left( x+\sin^2\frac{2\pi}{2n+1} \right)\cdots\left( x+\sin^2\frac{n\pi}{2n+1} \right)\\
={}&\frac{\bigl( \sqrt{x+1}+\sqrt x \bigr)^{2n+1}-\bigl( \sqrt{x+1}-\sqrt x \bigr)^{2n+1}}{4^n\cdot2\sqrt x}.
\end{align*}

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回复 10# kuing
说得太对了,昨晚开始,把坛子里的相关这类三角恒等式汇总了一下,慢慢看:
似曾相识,又有不同,结果把自已绕了进去,乱了。。。

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回复 10# kuing

PFPF

可以发个长论文了,稍加整理就是

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既然想整理文档,更应该注重细节了。现在已经提醒你函数名的问题也一定没改变。

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回复 12# isee

长论文就算了……
三角的水太深,就凭我这一招半式,还不敢卖弄……
如 3# 链接后面那个正割和,我做得麻烦,他们一个简洁过一个……
又如这里玩切比雪夫啥的,我也还没搞得清楚……
所以说,还有太多东西可以玩鸟……

@hejoseph : 放弃吧

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回复  isee

@hejoseph : 放弃吧

kuing 发表于 2020-6-3 17:40


正确的事儿必须有人执着的去说,否则都不知什么正确的什么是错误的了。

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回复 14# hejoseph
哎呀,习惯不好,总记不住。
改过了

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若能证到这个结论:
1.\[\prod_{k=1}^{n-1}\sin\dfrac{k\pi}{n}=\dfrac{n}{2^{n-1}}\]
好象能推出几个恒等式,例如9#的。

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回复 18# lemondian

才想起来,这种连乘的用以前这帖 http://www.kuing.orzweb.net/redi ... 17381&ptid=3996 的方法比较简单……[小纠结]

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回复 19# 色k
哦,还可以这样!NB
不知能不能用你这种方法,直接证9#的两个等式?

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