[几何] 过定点的两条弦的关系

ellipse

俺刚注册论坛...还太不会发帖...

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2020-6-1 13:09

已知定点P、定圆O，过P作两条垂直的动弦AB,CD，求证$AB^2+CD^2$为定值
已知定点P、定圆O、定角α，过P作两条动弦AB,CD，它们的夹角是α，那么AB,CD有什么关系？

色k

垂直的情况：设 `AB`, `CD` 到 `O` 的距离分别为 `d_1`, `d_2`，则
\[AB^2+CD^2=4(r^2-d_1^2)+4(r^2-d_2^2)=8r^2-4OP^2.\]

isee

回复 1# ellipse


以主楼图标记$\angle APC=\alpha$，$OP=d$，则$AB^2=4\left(r^2-d^2\require{cancel}\cancel{\sin^2\frac\alpha2}\right)$，算不算？

角错了，请无视，否则两角和为$\alpha$，想消角估计也不算容易

kuing

回复 3# isee

硬消总可以，但表达式估计很复杂，没啥意思……
大概酱紫：为方便起见令 `AB=2x`, `CD=2y`, `OP=d`, `\angle APO=t`, `\angle CPO=u`，
则 `x^2=r^2-d^2\sin^2t`, `y^2=r^2-d^2\sin^2u`，
当 `O` 在角内时 `\cos\alpha=\cos(t+u)=\cos t\cos u-\sin t\sin u`，
移项平方 `(\cos\alpha+\sin t\sin u)^2=(1-\sin^2t)(1-\sin^2u)`，
左边展开后再次移项平方，就可以代入上面那些 `\sin^2` 了……

isee

回复 4# kuing

还真行，直接带着根号算了

hbghlyj

回复 4# kuing
消元,得
$\left(d^2-2 r^2+x^2+y^2\right)^2-2(\left(d^2-2 r^2\right) \left(d^2+x^2+y^2\right)+2r^4+2x^2y^2)\cos^2\alpha+d^4\cos^4\alpha=0$

kuing

回复 6# hbghlyj

比想象中好看[/惊喜]