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[几何] 到两定直线一定点的距离和最小的点

本帖最后由 hejoseph 于 2020-5-29 14:49 编辑

已知两定直线和一定点,求到这两条直线和定点的距离和最小的点。
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本帖最后由 郝酒 于 2020-5-31 16:35 编辑

又来尝试回答何版的问题啦。
感觉也是个像阿氏问题的名题呢,不知历史研究如何,有无物理背景。
肯定要分类,平行时点在线间和线外。不平行分点在钝角里和点在锐角里,钝角里直接是交点,锐角里,点在一条的平行线上。
做实验的,好像不太对的。
期待解答。

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本帖最后由 hejoseph 于 2020-6-3 22:34 编辑

直线平行或定点在直线上时比较简单。下面假定直线不平行,定点不在直线上。两相交直线分平面的区域成四个区域,设两定直线分别是 $l_1$、$l_2$,定点是 $P$,点 $P$ 到 $l_1$ 的距离是 $a$,点 $P$ 到 $l_2$ 的距离是 $b$,$a\leqslant b$,$l_1$、$l_2$ 交点是 $O$,含有定点 $P$ 的那个区域成角 $TOU$,$T$ 在 $l_1$ 上,$U$ 在 $l_2$ 上,那么:
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当 $0^\circ<\angle TOU<60^\circ$ 时,所求点就是点 $P$。
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2020-6-3 22:33

当 $\angle TOU=60^\circ$ 时,设过点 $P$ 作 $\angle TOU$ 的角平分线 $t$,过点 $P$ 作 $t$ 的平行线与射线 $OT$ 交于点 $V$,所求的点是线段 $PV$ 上的任意点(含端点)。
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当 $60^\circ<\angle TOU<90^\circ$ 时,设点 $P$ 关于 $OT$ 的对称点是 $P'$,点 $P'$ 到 $l_2$ 的垂足是 $Q'$。若点 $Q'$ 在射线 $OU$(不含端点 $O$)上,则 $P'Q'$ 与 $OT$ 的交点就是所求的点。若$Q'$ 在射线 $OU$ 的反向延长线上(含端点 $O$),所求的点就是点 $O$。
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当 $\angle TOU=90^\circ$ 时,所求的点就是点 $O$。
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2020-6-3 22:33

当 $90^\circ<\angle TOU<180^\circ$ 时,设点 $P$ 到 $l_2$ 的垂足是 $Q$。若点 $Q$ 在射线 $OU$(含端点 $O$)上,所求的点就是点 $O$。若 $Q$ 在射线 $OU$ 的反向延长线上(不含端点 $O$),所求的点就是 $PQ$ 与 $OT$ 的交点。

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