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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 19-20苏州,无锡,常州,镇江高三二模附加压轴数列不等式
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aishuxue
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aishuxue
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发表于 2020-5-28 15:01
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[数列]
19-20苏州,无锡,常州,镇江高三二模附加压轴数列不等式
已知数列$\{a_n\}$中, $a_1=6$, $a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n^2-a_n+3$.
证明: 当$n\geqslant3$时, $\sum_{i=2}^n(\dfrac{a_i}{6})^{\dfrac{2}{i}}>2(\dfrac{3}{2})^n-3$.
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发表于 2020-5-28 19:52
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只看该作者
是想要跟参考答案的数学归纳法不同的解法吗?应该没了吧
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战巡
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发表于 2020-5-29 00:23
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aishuxue
大水母吧...
\[a_{n+1}-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}(a_n-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}\]
这样意味着
\[a_{n+1}-\frac{3}{2}>\frac{1}{3}(a_n-\frac{3}{2})^2\]
有
\[a_{n}-\frac{3}{2}>3\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{2^{n-1}}\]
\[a_n>3\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{2^{n-1}}+\frac{3}{2}\]
你们知道这个玩意有多大么?
\[\frac{a_n}{6}\cdot n-\left[2(\frac{3}{2})^n-3\right]>\frac{n}{2}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{2^{n-1}}+\frac{n}{4}-\left[2(\frac{3}{2})^n-3\right]\]
\[=(\frac{3}{2})^n\cdot\left(\frac{n}{2}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{2^{n-1}-n}-2\right)+\frac{n}{4}+3\]
这里面当$n\ge 3$时就有$\left(\frac{n}{2}\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{2^{n-1}-n}-2\right)>0$了,$n=2$时整个的值为$\frac{5}{4}>0$
也就是说,光是求和的最后一项就已经远远大于右边了,更别说还要加上前面的一大堆
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kuing
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发表于 2020-5-29 03:00
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3#
战巡
由于 \dfrac 被
滥
用
,以至于上标也变成大的分式,所以左边的 $\sum_{i=2}^n(\dfrac{a_i}{6})^{\dfrac{2}{i}}$ 不是 $(\dfrac{a_i}6)\ i$ 是 $(\dfrac{a_i}6)^{\frac2i}$……
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