[不等式] 来自人教群：二元三角最值

kuing

湘****斗 2020/5/27 21:09:26

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2020-5-28 02:01

请教大神这道不等式最值问题

鄂****角 2020/5/27 21:15:27
直接猜啊，对称的。alpha=beta=pi/6,最小为4根3
分子和差化积，分母积化和差，统一为cos(a-B)/2这一变量下就可以了
湘****斗 2020/5/27 22:16:07
不用对称性及和差化积，如何解决呢
川****森 2020/5/27 22:25:54
设alpha,beta分别等于pi/6 +x和pi/6-x可以解决
湘****斗 2020/5/27 22:34:09
这样换角本质感觉就是和差化积
川****森 2020/5/27 22:47:13
那你想怎么办？
本来alpha+beta=pi/3这个条件就意味着这俩角关于pi/6对称

阅A爱好者色k 2020/5/27 23:00:53

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2020-5-28 02:01

湘****斗 2020/5/27 23:18:02
妙

上图是用草稿本写的，把代码存档一下：

设 $\gamma=\pi/6$，则 $\alpha+\beta+\gamma=\pi/2$，由均值及 Jensen 得

\begin{align*}

y&=\sqrt3\cdot\frac{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma}{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}\\

&\geqslant\sqrt3\cdot\frac{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma}{\left( \frac{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma}3 \right)^3}\\

&=\frac{3\sqrt3}{\left( \frac{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma}3 \right)^2}\\

&\geqslant\frac{3\sqrt3}{\left( \cos\frac{\alpha+\beta+\gamma}3 \right)^2}\\

&=4\sqrt3,

\end{align*}当 $\alpha=\beta=\gamma=\pi/6$ 时取等。

力工

回复 1# kuing
引入$\gamma$这一招太高了！绝！

isee

回复统一成$\cos \frac {\alpha-\beta}2$这思想也清晰通用。

补充完过程如下，

由求式的两角对称性，不妨设$0<\beta\leqslant \frac {\pi}6\leqslant \alpha<\frac {\pi}3$，则令$\cos \frac {\alpha-\beta}2=x\in\left(\frac {\sqrt 3}2,1\right]$.

则
\begin{align*}
y&=\frac {4\cos\frac{\alpha+\beta}2\cos \frac{\alpha-\beta}2+\sqrt 3}{1/2(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))}\\[2ex]
&=\frac{\sqrt 3(2x+1)}{\frac 14+\frac 12\cos(\alpha-\beta)}\\[2ex]
&=\frac{4\sqrt 3(2x+1)}{1+2(2x^2-1)}\\[2ex]
&=\frac{4\sqrt 3(2x+1)}{4x^2-1}\\[2ex]
&\require{cancel}\cancel{=\frac{4\sqrt 3}{t-2},t=2x+1}\\[2ex]
&=\frac{4\sqrt 3}{2x-1}\\[2ex]
&\geqslant 4\sqrt 3\\[2ex]
\end{align*}

取”=”时，擦，取不到最小，回查查，先，，，


唉，竟然能约分。

这样就是$x=1$取最小。

kuing

引入$\gamma$这一招太高了！绝！
力工 发表于 2020-5-28 10:15

是原式分子的系数暗示我那里隐藏着一个角，所以我把它还原出来我估计命题者就是这样构造出这道题的