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[不等式] 结果简单,取等复杂

中午醒来一看QQ:
Joseph 11:04
求x^2+(1/(x+1))^2+((x+1)/x)^2的最小值,没想到结果很简单,但是x的值却不简单
还没睡醒的我第一反应均值不就好了吗?差点就回过去了,但转念一想,怎么会这么简单?清醒一下先/emmm...这样是取不了等号嘀!

求导的话次数会很高,看来还是得观察式子发现喵腻,鼓捣了一会发现:如果记
\[(A,B,C)=\left( -x,\frac1{x+1},\frac{x+1}x \right),\]则有
\begin{align*}
AB&=B-1,\\
BC&=C-1,\\
CA&=A-1,
\end{align*}于是
\begin{align*}
A^2+B^2+C^2&=(A+B+C)^2-2(AB+BC+CA)\\
&=(A+B+C)^2-2(A+B+C)+6\\
&=(A+B+C-1)^2+5,
\end{align*}所以原式 `\geqslant5`,取等条件是 `A+B+C=1`,即
\[-x+\frac1{x+1}+\frac{x+1}x=1,\]去分母后是一个三次方程,肯定有实解,所以等号能取到。
这名字我喜欢

网站很难访问。
最开始的时候我就是用导数做出来的
\begin{align*}
&f(x)=\frac{x^6+2 x^5+2 x^4+4 x^3+7 x^2+4 x+1}{x^2(x+1)^2}\\
&f'(x)=\frac{2(x^2+x+1)^2(x^3+x^2-2 x-1)}{x^3(x+1)^3}
\end{align*}
得 $x^3+x^2-2 x-1=0$。
利用整式除法得
\begin{align*}
&x^2(x+1)^2=(x+1)(x^3+x^2-2 x-1)+2x^2+3x+1=2x^2+3x+1\\
&x^6+2 x^5+2 x^4+4 x^3+7 x^2+4 x+1=(x^3+x^2+3 x+4)(x^3+x^2-2 x-1)+5(2x^2+3x+1)=5(2x^2+3x+1)
\end{align*}
就得在极值点 $f(x)=5$。

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一楼的题也等价于:设
\[F=\left( \frac{a-b}{b-c} \right)^2+\left( \frac{b-c}{c-a} \right)^2+\left( \frac{c-a}{a-b} \right)^2,\]其中 `a`, `b`, `c` 为互不相等的任意实数,求 `F` 的最小值。

理由:令
\[\frac{a-b}{b-c}=x,\]则
\begin{align*}
\frac{b-c}{c-a}&=-\frac{b-c}{a-b+b-c}=-\frac1{x+1},\\
\frac{c-a}{a-b}&=-\frac{x+1}x,
\end{align*}所以等价于求
\[x^2+\left( \frac1{x+1} \right)^2+\left( \frac{x+1}x \right)^2\]的最小值。

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翻此老帖,事出有因——刚才人教群里网友“河北学生lky”贴出了一个“有奖征解12题”,研究时发现和这贴相关。

图很长,我就不贴上来了,太占位置,反正那 12 题的形式是一样的,就是
\[\left( \frac{a-b}{b-c}+m \right)^4+\left( \frac{b-c}{c-a}+m \right)^4+\left( \frac{c-a}{a-b}+m \right)^4\geqslant k\]其中 `m` 取了一些整数值,而右边的 `k` 的最佳值看起来都像是三次方程的根。

现在用一楼的方法来试试它,就先试 `m=0`,记
\[G=\left( \frac{a-b}{b-c} \right)^4+\left( \frac{b-c}{c-a} \right)^4+\left( \frac{c-a}{a-b} \right)^4,\]令
\[(A,B,C)=\left( \frac{a-b}{b-c},\frac{b-c}{c-a},\frac{c-a}{a-b} \right),\]则有
\[AB+B+1=BC+C+1=CA+A+1=0,\]再记 `p=A+B+C`, `q=AB+BC+CA`, `r=ABC=1`,由上式知 `q+p+3=0`,所以
\begin{align*}
G&=A^4+B^4+C^4\\
&=p^4-4p^2q+4pr+2q^2\\
&=p^4-4p^2(-p-3)+4p+2(-p-3)^2\\
&=p^4+4p^3+14p^2+16p+18,\\
&=g(p),
\end{align*}问题就变成了求这个四次函数的最小值,求导得
\[g'(p)=0\iff p^3+3p^2+7p+4=0,\]此方程有唯一实解,所以极值就是最小值,然后
\[\led
p^4+4p^3+14p^2+16p+18-G&=0,\\
p^3+3p^2+7p+4&=0,
\endled\]消去 `p` 得
\[G^3-7G^2+3G-898=0,\]所以最小值就是这个方程的根,具体值是
\[\frac13\sqrt[3]{\frac{24743-849\sqrt{849}}2}+\frac13\sqrt[3]{\frac{24743+849\sqrt{849}}2}+\frac73\approx12.50.\]

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一般的 `m` 显然可以一样地玩,但正如网友“河北学生lky”所观察到的那样:

`m=0` 和 `m=1` 的结果相同,`m=-1` 和 `m=2` 的结果相同,似乎有玄机?

说不定关于 `1/2` 对称,于是我不妨令 `m=(1+n)/2`,即:
\[G_n=\left( \frac{a-b}{b-c}+\frac{1+n}2 \right)^4+\left( \frac{b-c}{c-a}+\frac{1+n}2 \right)^4+\left( \frac{c-a}{a-b}+\frac{1+n}2 \right)^4,\]然后 `A`, `B`, `C`, `p`, `q`, `r` 同楼上所设,有
\begin{align*}
G_n={}&\left( A+\frac{1+n}2 \right)^4+\left( B+\frac{1+n}2 \right)^4+\left( C+\frac{1+n}2 \right)^4\\
={}&\cdots\\
={}&p^4 + 2 (3 + n) p^3 + \frac12 (43 + 18 n + 3 n^2) p^2 \\
&+ \frac12 (75 + 51 n + 9 n^2 + n^3) p + \frac3{16} (177 + 132 n + 54 n^2 + 4 n^3 + n^4)\\
={}&g(p),
\end{align*}然后
\[\led
g(p)-G_n&=0,\\
g'(p)&=0,
\endled\]消去 `p`,最终得
\begin{align*}
&G_n^3 + \frac18 (13 - 66 n^2 - 3 n^4) G_n^2 \\
&+ \frac1{64} (-5405 + 4036 n^2 + 1426 n^4 + 132 n^6 + 3 n^8) G_n \\
&- \frac1{512} (3 + n^2)^2 (19881 + 7724 n^2 + 1070 n^4 + 60 n^6 + n^8) = 0,
\end{align*}可以看到,`n` 全是偶次,果然关于 `1/2` 对称!

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