翻此老帖,事出有因——刚才人教群里网友“河北学生lky”贴出了一个“有奖征解12题”,研究时发现和这贴相关。
图很长,我就不贴上来了,太占位置,反正那 12 题的形式是一样的,就是
\[\left( \frac{a-b}{b-c}+m \right)^4+\left( \frac{b-c}{c-a}+m \right)^4+\left( \frac{c-a}{a-b}+m \right)^4\geqslant k\]其中 `m` 取了一些整数值,而右边的 `k` 的最佳值看起来都像是三次方程的根。
现在用一楼的方法来试试它,就先试 `m=0`,记
\[G=\left( \frac{a-b}{b-c} \right)^4+\left( \frac{b-c}{c-a} \right)^4+\left( \frac{c-a}{a-b} \right)^4,\]令
\[(A,B,C)=\left( \frac{a-b}{b-c},\frac{b-c}{c-a},\frac{c-a}{a-b} \right),\]则有
\[AB+B+1=BC+C+1=CA+A+1=0,\]再记 `p=A+B+C`, `q=AB+BC+CA`, `r=ABC=1`,由上式知 `q+p+3=0`,所以
\begin{align*}
G&=A^4+B^4+C^4\\
&=p^4-4p^2q+4pr+2q^2\\
&=p^4-4p^2(-p-3)+4p+2(-p-3)^2\\
&=p^4+4p^3+14p^2+16p+18,\\
&=g(p),
\end{align*}问题就变成了求这个四次函数的最小值,求导得
\[g'(p)=0\iff p^3+3p^2+7p+4=0,\]此方程有唯一实解,所以极值就是最小值,然后
\[\led
p^4+4p^3+14p^2+16p+18-G&=0,\\
p^3+3p^2+7p+4&=0,
\endled\]消去 `p` 得
\[G^3-7G^2+3G-898=0,\]所以最小值就是这个方程的根,具体值是
\[\frac13\sqrt[3]{\frac{24743-849\sqrt{849}}2}+\frac13\sqrt[3]{\frac{24743+849\sqrt{849}}2}+\frac73\approx12.50.\] |