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比较笨的一个想法

所求$\iff A=\bar{A}\iff A 的所有接触点  \in A \iff 不存在A的接触点 \notin A$

反证法,假定存在 $A$ 的接触点 $x$ 不属于 $A$, 由接触点的定义,显然可构造一个$A$ 中的点列,使其到 $x$ 的距离趋于0. 或用术语说,这些点包含在半径越来越小的开圆之中。也就是说 $x$ 可表示为 $A$ 中点列的极限, 故$x$ 属于 $A$. 矛盾。假设不成立,所求得证。

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本帖最后由 业余的业余 于 2020-5-2 00:49 编辑

表达得很清晰了啊。也可以这样构造点列:

定义系列的开圆 $B_n=B(a,\frac 1{2^n})$, 不妨说从$n=i (i\in \mathbb{N}^*)$ 开始 $A\cap B_i\ne \varnothing$, 把 $B_i, B_{i+1}, \cdots$ 称为 $C_1, C_2, \cdots$, 称 $C_i\backslash C_{i+1}$ 为 $D_i$, 显然 所有的 $D_i$ 非空,且 disjoint, 且 $D_i \subset A$. 从$D_i$中相继取出 $x_i (x_i\in D_i)$ 构造点列 $\{x_i\}$, 显然 $x_i\in A$ 且$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n = a$



隐含使用了选择公理,不知道有没有更直接的、绕过选择公理的证法。

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本帖最后由 业余的业余 于 2020-5-4 02:42 编辑

谢谢分享,向你学习。复变的教材我下了好几本,暂时还不敢下牙齿 :)

PS: 用了开圆的概念其实就变相地定义了距离吧?空间两点 $x,y$, 如果存在非负数 $d$ 使得 $y\in B(x,d)$ 且 $\forall s\big( s>d\implies y\notin B(x,s)\big)$ 就可定义 $D_{xy}=d$。

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