请教$A$是闭集当且仅当$A$中的收敛点列收敛到$A$中。
如题。设$\{x_n\}$是$A$中任意一个收敛点列,$\{x_n\}$收敛到$a$,求证$A$是闭集当且仅当$a \in A$。
充分性我证明完了,必要性我没证明出来,请问应该怎么证明?
必要性就是:已知对任意一个收敛点列$\{x_n\}\subset A$都有$\lim_{n\to\infty}x_n=a\in A$,求证$A$是闭集。
下面是一些定义:
闭集定义为:开集对全空间的补集。
开集定义为:对任意的$x \in A$,$x$都是$A$的内点,则称$A$是开集。
内点定义为:对全空间中的集合$A$,若存在开圆$B(a,r) \subset A$,则$a$是$A$的内点。
开圆定义为:集合$B(a,r)=\{x属于全空间: |x-a|<r\}$,称$B(a,r)$为开圆。
我已经证明的可能有用的结论有:
$A$是闭集当且仅当$A=\overline{A}$,其中$\overline{A}$是$A$的闭包。
闭包定义为:$A$的全体接触点构成的集合。
接触点定义为:设集合$A$和点$x$都属于全空间,若对任意的$\varepsilon>0$,都有$B(x,\varepsilon)\cap A\neq\varnothing$,则点$x$称为$A$的接触点。 |