繁體
|
簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
(檢舉)
分享
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
快速注册
登录
论坛
搜索
帮助
原始风格
brown
purple
green
red
orange
gray
pink
violet
blue
greyish-green
jeans
greenwall
私人消息 (0)
公共消息 (0)
系统消息 (0)
好友消息 (0)
帖子消息 (0)
应用通知 (0)
应用邀请 (0)
悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 一道有关数学期望题目
返回列表
发帖
dahool
发短消息
加为好友
dahool
当前离线
UID
2802
帖子
90
主题
23
精华
0
积分
502
威望
0
阅读权限
50
在线时间
103 小时
注册时间
2018-3-15
最后登录
2022-6-18
1
#
跳转到
»
倒序看帖
打印
字体大小:
t
T
发表于 2020-4-28 09:54
|
只看该作者
[组合]
一道有关数学期望题目
本帖最后由 dahool 于 2020-4-28 09:58 编辑
有$2019$个人,每个人从集合$\{1,2,\cdots,2019\}$中等概率的挑选一个数,这些数为$a_1,a_2,\cdots,a_{2019}$,令$A$为这些数构成的集合,例如:$a_1=a_2=\cdots=a_{2018}=1,a_{2019}=2$,则$A=\{1,2\}$,求集合$A$的元素个数的数学期望.
收藏
分享
分享到:
QQ空间
腾讯微博
腾讯朋友
战巡
发短消息
加为好友
战巡
当前离线
UID
349
帖子
806
主题
26
精华
0
积分
8977
威望
21
阅读权限
90
在线时间
5693 小时
注册时间
2013-10-11
最后登录
2022-5-13
2
#
发表于 2020-4-28 12:54
|
只看该作者
本帖最后由 战巡 于 2020-4-28 17:50 编辑
回复
1#
dahool
如果令$N$为集合总数(这里$N=2019$,但我们可以探寻更一般的情况),然后令$m_n$为第$n$个人挑选完后构成的集合元素个数
显然有$m_1=1$, $P(m_2=1)=\frac{1}{N}, P(m_2=2)=\frac{N-1}{N}$,然后当给定了$m_n$以后,会有
\[P(m_{n+1}=m_n|m_n)=\frac{m_n}{N}\]
\[P(m_{n+1}=m_n+1|m_n)=\frac{N-m_n}{N}\]
而后
\[E[m_{n+1}|m_n]=P(m_{n+1}=m_n|m_n)m_n+P(m_{n+1}=m_n+1|m_n)(m_n+1)\]
\[=\frac{m_n^2}{N}+\frac{N-m_n}{N}(m_n+1)=1+m_n(1-\frac{1}{N})\]
也就是
\[E[m_{n+1}]=E[E[m_{n+1}|m_n]]=E[1+m_n(1-\frac{1}{n})]=1+(1-\frac{1}{N})E[m_{n}]\]
然后就有
\[E[m_n]=N-N\left(\frac{N-1}{N}\right)^n\]
当$n=N=2019$
\[E[m_{2019}]=2019-2019\left(\frac{2018}{2019}\right)^{2019}\]
TOP
dahool
发短消息
加为好友
dahool
当前离线
UID
2802
帖子
90
主题
23
精华
0
积分
502
威望
0
阅读权限
50
在线时间
103 小时
注册时间
2018-3-15
最后登录
2022-6-18
3
#
发表于 2020-4-28 16:27
|
只看该作者
回复
2#
战巡
验证了一下N=n=3的时候,貌似这个计算的式子不对
TOP
dahool
发短消息
加为好友
dahool
当前离线
UID
2802
帖子
90
主题
23
精华
0
积分
502
威望
0
阅读权限
50
在线时间
103 小时
注册时间
2018-3-15
最后登录
2022-6-18
4
#
发表于 2020-4-28 16:33
|
只看该作者
本帖最后由 dahool 于 2020-4-28 16:34 编辑
验证了n=3,4的时候
推测N=n时的式子为$\frac{n[n^n-(n-1)^n]}{n^n}$
TOP
dahool
发短消息
加为好友
dahool
当前离线
UID
2802
帖子
90
主题
23
精华
0
积分
502
威望
0
阅读权限
50
在线时间
103 小时
注册时间
2018-3-15
最后登录
2022-6-18
5
#
发表于 2020-4-28 16:41
|
只看该作者
回复
4#
dahool
这个式子可以有很多种变形,但是没理解好怎么直接与数学期望联系起来
TOP
战巡
发短消息
加为好友
战巡
当前离线
UID
349
帖子
806
主题
26
精华
0
积分
8977
威望
21
阅读权限
90
在线时间
5693 小时
注册时间
2013-10-11
最后登录
2022-5-13
6
#
发表于 2020-4-28 17:54
|
只看该作者
回复
3#
dahool
已经改了,前面一个输入错误导致后面算错
TOP
dahool
发短消息
加为好友
dahool
当前离线
UID
2802
帖子
90
主题
23
精华
0
积分
502
威望
0
阅读权限
50
在线时间
103 小时
注册时间
2018-3-15
最后登录
2022-6-18
7
#
发表于 2020-4-28 18:53
|
只看该作者
回复
6#
战巡
十分感谢!
TOP
返回列表
回复
发帖
[收藏此主题]
[关注此主题的新回复]
[通过 QQ、MSN 分享给朋友]