[几何] 角的比的极限

hbghlyj

点C,D是平面上的点，A,B是圆O上的点，当B趋于A时，求∠ACB/∠ADB的极限
分子分母趋于0的话,都加上sin也无妨,然后可以化成外接圆半径的比
过A作切线L,以L为切线,过A,C;A,D作圆E,F,极限就是AF/AE,也可以化成ADsin2∠CAO/ACsin2∠DAO
与圆的半径无关,就是说O可以在A处的法线上移动而不改变这个极限,而且,点A,B是任意曲线上的点时这个方法仍适用.

2020-4-25 22:54

2020-4-25 23:00

在图中可以看到它们都等于2.042
PS：ku版经常用的速度法可以定义为线段比的极限

kuing

相当于：`A` 点有一个速度 `v`，求它对 `C`, `D` 的角速度之比。

设 `v` 与 `AC`, `AD` 的夹角为 `\alpha`, `\beta`，那么角速度之比就是 `(v\sin\alpha/AC):(v\sin\beta/AD)=AD\sin\alpha:AC\sin\beta`。

hbghlyj

正三角形ABC,A'在光滑曲线上运动,曲线在A的切线与AB的夹角为α,ABC的垂心为H,A'BC的垂心为H',则A'趋于A时,$\frac{HH'}{AA'}=\frac13\sqrt{5 - 4\sin(2α+ 30°)}$

2020-4-26 13:03

2020-4-26 13:18

@kuing，您看这个如何证明

hbghlyj

A,B,C的速度为$v_1,v_2,v_3$,运动方向的倾斜角为$\theta_1,\theta_2,\theta_3$,△ABC的面积为S,则外心O的速度的横纵坐标分量为
$\frac1{8S^2}\left\{\left(\left(y_C-y_A\right) x_B^2+x_C^2 \left(y_A-y_B\right)+\left(x_A^2+\left(y_A-y_B\right) \left(y_A-y_C\right)\right) \left(y_B-y_C\right)\right) \left(v_3 \left(\sin \left(\theta _3\right) \left(x_A-x_B\right)+\cos \left(\theta _3\right) \left(y_B-y_A\right)\right)+v_2 \left(\sin \left(\theta _2\right) \left(x_C-x_A\right)+\cos \left(\theta _2\right) \left(y_A-y_C\right)\right)+v_1 \left(\sin \left(\theta _1\right) \left(x_B-x_C\right)+\cos \left(\theta _1\right) \left(y_C-y_B\right)\right)\right)-\left(x_C \left(y_B-y_A\right)+x_B \left(y_A-y_C\right)+x_A \left(y_C-y_B\right)\right) \left(\sin \left(\theta _1\right) v_1 \left(x_C^2-x_B^2\right)-v_1 \left(y_B-y_C\right) \left(\sin \left(\theta _1\right) \left(-2 y_A+y_B+y_C\right)-2 \cos \left(\theta _1\right) x_A\right)+v_2 \left(2 \cos \left(\theta _2\right) x_B \left(y_C-y_A\right)+\sin \left(\theta _2\right) \left(x_A^2-x_C^2+\left(y_A-y_C\right) \left(y_A-2 y_B+y_C\right)\right)\right)+v_3 \left(2 \cos \left(\theta _3\right) x_C \left(y_A-y_B\right)+\sin \left(\theta _3\right) \left(-x_A^2+x_B^2-\left(y_A-y_B\right) \left(y_A+y_B-2 y_C\right)\right)\right)\right),\left(\left(x_B-x_C\right) x_A^2+\left(-x_B^2+x_C^2-y_B^2+y_C^2\right) x_A+x_B^2 x_C+x_C \left(y_B^2-y_A^2\right)-x_B \left(x_C^2-y_A^2+y_C^2\right)\right) \left(v_3 \left(\sin \left(\theta _3\right) \left(x_B-x_A\right)+\cos \left(\theta _3\right) \left(y_A-y_B\right)\right)+v_1 \left(\sin \left(\theta _1\right) \left(x_C-x_B\right)+\cos \left(\theta _1\right) \left(y_B-y_C\right)\right)+v_2 \left(\sin \left(\theta _2\right) \left(x_A-x_C\right)+\cos \left(\theta _2\right) \left(y_C-y_A\right)\right)\right)+\left(x_C \left(y_B-y_A\right)+x_B \left(y_A-y_C\right)+x_A \left(y_C-y_B\right)\right) \left(v_3 \left(\cos \left(\theta _3\right) \left(-x_A^2+x_B^2-y_A^2+y_B^2+2 \left(x_A-x_B\right) x_C\right)+2 \sin \left(\theta _3\right) \left(x_A-x_B\right) y_C\right)+v_2 \left(2 \sin \left(\theta _2\right) \left(x_C-x_A\right) y_B+\cos \left(\theta _2\right) \left(y_A^2-y_C^2+\left(x_A-x_C\right) \left(x_A-2 x_B+x_C\right)\right)\right)+v_1 \left(2 \sin \left(\theta _1\right) \left(x_B-x_C\right) y_A+\cos \left(\theta _1\right) \left(-x_B^2+x_C^2-y_B^2+y_C^2+2 x_A \left(x_B-x_C\right)\right)\right)\right)\right\}$

hbghlyj

极坐标曲线r=f(θ),l是P(r,θ)处的切线,l与OP的夹角为α,则
$\frac{dr}{dθ}=r\cot\alpha$
我们只需证明：直线上的动点P'趋于P,在OP'上截取OA=OP=r,$\angle OPP'=\alpha,\angle POP'=△θ$,则$\frac{AP'}{△θ}$趋于$r\cot\alpha$
当P'趋于P时AP趋于P处的切线,AP'趋于OP,故∠PAP'趋于直角,由正弦定理,$\frac{AP'}{△θ}\sim r·\frac{AP'}{AP}=r\cot\alpha$

2020-8-6 22:37

hbghlyj

2021-2-14 12:18

D在BC上,P在AD上运动,过A,B作圆c,过A,C作圆d,BP交d于E,CP交c于F,能否尺规作出:
P趋于A时,AF:AE的极限
P趋于D时,BF:CE的极限