[不等式] 几个不等式

lemondian

几个不等式：
1.已知实数$0<a,b,c,d\leqslant\frac{1}{2}$，求证： $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{d^2}\geqslant 6+\dfrac{20}{a+b+c+d}$.
2.已知正数$a,b,c$满足$a+b+c=3$，求证：$1<\dfrac{a}{\sqrt{3a+b}}+\dfrac{b}{\sqrt{3b+c}}+\dfrac{c}{\sqrt{3c+a} }\leqslant \frac{3}{2}$。
3.已知正数$a,b,c$满足$a+b+c+2=abc$，求证：$(1+\sqrt{ab})+(1+\sqrt{bc})+(1+\sqrt{ca})\geqslant 27$.
4.已知正数$x,y,z$，若不等式$4x^2+y^2+3z^2\geqslant \lambda (2xy+3yz)$恒成立，求$\lambda $的最大值。

hbghlyj

4.由$4x^2+y^2+3z^2-(2xy+3yz)=\left(2x-\frac y2\right)^2+\frac34 (y - 2 z)^2$得$\lambda\le1$
$x:y:z=1:4:2$时取等

力工

437也就是这里的4都烂大街了。