[函数] f(x)=xlnx，趋于0怎么说明（高二）

realnumber

x趋于0+时，$f(x)=x \ln x$趋于0，(用了下初中合比定理，变成导数定义，其实是洛比达法则)
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x,\Delta x\to  0}\frac{\ln (x+\Delta x)}{\frac{1}{x+\Delta x}}=\lim_{x\to 0}\lim_{\Delta x \to  0} \frac{\ln (x+\Delta x)-\ln x}{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{(\ln x)'}{(\frac{1}{x})'}=\lim_{x\to 0} (-x)=0 \]
这样可以吗？有别的解释办法吗？
原题：函数$f(x)=x\ln x -m$有两个零点，则m的取值范围-----（$-\frac{1}{e}<m<0$）

kuing

问题是合比定理的内容并不涉及极限，它是否可以这样用于极限，还需要去证明，何况你在过程中还多整了一个 `\Delta x` 出来，变成二元极限，再变成双重极限，要说清楚就更难了……

kuing

其实给高中生讲的话，可以考虑作个倒数代换 `x\to1/x`，就变成 `x\to+\infty` 时 `-\dfrac{\ln x}x` 的极限，这从两者的图象直观来看就已经很显然

kuing

用放缩法也行，比如利用 `\ln x\mathrel{{>}(<)}\dfrac{x-1}{\sqrt x}`（`x\mathrel{{<}(>)}1`）

realnumber

恩，kk有道理
同事han用了这个办法记$h(x)=\ln x-\frac{m}{x}$,等晚上回家贴图上来

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2020-4-22 18:51

isee

在理科班——现如今不分文理了，对基本较好的，依然补充——不论是高几，我都是花点时间慢慢的“较通俗的”+“直观的”说极限，微分中值定理，再迂回到单调性，洛比达，作图。
对大多数的效果（分数）其实没有直接提升，对基本功较好的爱思的效果明显。