[几何] 几何题一道

hbghlyj

OA=2OP，∠QOA=2∠AOP，3OR=2OQ，RS=P'S，求证AO平分角PAP'

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2020-4-14 22:16

hbghlyj

建立复平面，$P=1,A=2x,Q=x^3,P'=-\frac23(2-x^3)$，原题转化为
若$|x|=1,$则$\frac{\left(-\frac23(2-x^3)-2x\right)(1-2x)}{(2x)^2}\in\mathbf R$
只需把x换成$\frac1x$,验证式子不变即可.
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另外，下面的结果可能对于探索纯几何法有帮助
代入$x=\cos θ+\rm{i} \sin θ$化简得$\frac13 (\cos θ - 2 \cos2 θ + 3)$

hbghlyj

此时我们需要一位谙熟相似的大佬给出纯几何证明