取对数,作倒代换 `x\to1/x`,再去分母,不等式变成
\[(2+ax)\ln(1+x)>2x,\]令
\[f(x)=(2+ax)\ln(1+x)-2x,\quad x\geqslant0,\]求导
\[f'(x)=\frac{a(1+x)\ln(1+x)+ax-2x}{1+x},\]再令
\[g(x)=a(1+x)\ln(1+x)+ax-2x,\]再求导
\[g'(x)=a\ln(1+x)+2a-2,\](1)若 `a\geqslant 1` 则显然对 `x>0` 恒有 `g'(x)>0`,然后 `g(0)=0`, `g(x)>0`, `f'(x)>0`, `f(0)=0`, `f(x)>0`,符合;
(2)若 `a\leqslant0` 则与(1)完全相反(不等式全反向),当然不符合;
(3)若 `0<a<1` 则
\[g'(x)<0\iff\ln(1+x)<\frac2a-2\iff x<e^{2/a-2}-1,\]由 `0<a<1` 知上式右边为正,即当 `x\in(0,e^{2/a-2}-1)` 时 `g'(x)<0`,所以在此区间上和(2)一样也不符合。
综上即得 `a\geqslant1` 就是所求范围。 |