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[数论] 一道几何不定方程

求所有正整数组(x,y,z,a),存在平面上一点,到边长为a的正三角形三顶点距离为x,y,z
我的思路:
转化成方程$3(x^2+y^2+z^2)^2-6(x^4+y^4+z^4)=(x^2+y^2+z^2-2a^2)^2$
先考虑个特殊情况,当点在三角形边上的时候,a=y+z,方程变成$x^2=y^2+yz+z^2$.
容易得出$\left(\frac yx,\frac zx\right)=\left(\frac{k^2+k}{k^2+k+1},\frac{-k^2-2k}{k^2+k+1}\right),\forall k\in\mathbb Q$
所以一般情况怎么做:<

本帖最后由 青青子衿 于 2020-4-6 12:43 编辑
求所有正整数组(x,y,z,a),存在平面上一点,到边长为a的正三角形三顶点距离为x,y,z
我的思路:
转化成方程$3(x^2+y^2+z^2)^2-6(x^4+y^4+z^4)=(x^2+y^2+z^2-2a^2)^2$
先考虑个特殊情况,当点在三角形边上的时候,a=y+z,方程变成$x^2=y^2+yz+z^2$.
容易得出$\left(\frac yx,\frac zx\right)=\left(\frac{k^2+k}{k^2+k+1},\frac{-k^2-2k}{k^2+k+1}\right),\forall k\in\mathbb Q$
所以一般情况怎么做:<
hbghlyj 发表于 2020-4-5 22:11

这个问题相当困难
Arnfried Kemnitz给出了如下不定方程的解
\[ \Large{a^4+x^4+y^4+z^4=x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+a^2 (x^2+y^2+z^2)} \]
\begin{align*}
\left\{\begin{split}
x&=\Big(u^2+v^2\Big)\Big(5u^2+8uv+5v^2\Big)\\
y&=7u^4+16u^3v+10u^2v^2+3v^4\\
z&=3u^4+10u^2v^2+16uv^3+7v^4\\
a&=8\Big(u-v\Big)\Big(u+v\Big)\Big(u^2+uv+v^2\Big)
\end{split}\right.
\end{align*}
参看《数论中未解决的问题》[加]盖伊(著)张明尧(译)
/2003-01-01 /科学出版社 P233 D19
https://mathworld.wolfram.com/RationalDistanceProblem.html
https://proofwiki.org/wiki/Small ... ances_from_Vertices

a^4 + x^4 + y^4 + z^4 - x^2 y^2 - x^2 z^2 - y^2 z^2 -
   a^2 (x^2 + y^2 + z^2) /. {
   x -> (u^2 + v^2) (5 u^2 + 8 u v + 5 v^2),
   y -> 7 u^4 + 16 u^3 v + 10 u^2 v^2 + 3 v^4,
   z -> 3 u^4 + 10 u^2 v^2 + 16 u v^3 + 7 v^4,
   a -> 8 (u - v) (u + v) (u^2 + u v + v^2)} // FullSimplify

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