我们开始讲第三部分——“一条射影直线的全部点”上的对合变换，“过一个点的所有直线”上的对合变换，“一个二次曲线上的所有点”的对合变换，“一个二阶曲线上所有切线”的对合变换中的——“一个二次曲线上的所有点”的对合变换
最简单的二次曲线是圆，圆上“取对径点”这个操作是个对合变换
为什么是一个对合变换呢？定义“一对对合线和圆的交点”为一组对合对应点
然后我们有这是一个对合映射（显然）和一个射影变换（圆上的点交比就是线束交比+原来的对合变换）
共轴圆组和一个圆取交点也是一个对合
反演可以很轻松地说明它是个对合映射，但是怎么说明它是个射影变换呢？
注意：反演肯定不保一般锥线上的交比，一般锥线反演完后都不是锥线了
这个反演的话，反演中心在圆上，圆的交比可以变线束交比，反演不变，但是它保不保圆上的交比我还真没想过*取跟根轴的交点,然后做一个反演
总结一下：反演保交比，以根轴与圆心轴交点做反演，圆反演为直线，直线截共轴圆可构成对合
这个思路是正确的，不过没必要那么麻烦。我们可以形式上不用反演。做直线截共轴圆构成对合保交比过去
如何使用直径证明第一个共轴圆组的例子是对合？只需要证共线，共线只用导角。所以说是形式上不用反演。如果用反演的话，这些共线共点的证明全部包在反演的建立过程中了。（相当于证了一遍反演的某些性质）
这个对合，把对合的一对点两两连起来，有共点，共点到它们的根心
那么反过来呢？如果从一个点出发，交圆与一对对点，这一对对点是不是一定是一组对合呢？
这块你没办法用线束在反演里面不变作简单的证明
这一对对点是不是一定是一组对合呢？具体一些，我们如果导交比，一定会用到线束交比的。相似加正弦定理是可行的。圆上的交比有个很好的性质，由于正弦定理的存在，可以直接表示为线段比。可以直接导导相似比，就出来了。
回顾：锥线上四点的交比定义为锥线上一点对锥线上四点的线束交比。锥线有“这个交比是常数”的性质
我们的确可以使用正弦，而且甚至可以暴力地直接把刚才那个共轴圆组构造出来
我们现在已经有两种证法了……直到现在还没有讲正常的射影证法
导正弦和作共轴圆组都没法推广到一般二次曲线，我们怎么能找一种完全射影的方法呢？
首先，问一个问题：当我们在验证一个对合映射是射影变换的时候，我们都可以怎么做？
我们验证对合一般有两种思路，一种是直接暴力验证：
以A'为透视点看ABCD，射影在O的极线上，再将点列从A'看射影回锥线上
（WAD'共线这些东西需要用到布洛卡定理）
还有一种是像我两天前证迪沙格对合定理，验证两组对合映射之间保交比：
就是说，我们实际上只需要验证C(Bf(B)|AD)=(f(B)B|f(A)f(D))
也就是说，（Bf(B)PQ）=（f(B)B|P'Q'）
作C切线笛沙格对合两次.在退化四边形CCAf(A)中使用迪沙格对合定理，有Bf(B)，OO'，PP'在同一组对合中,同理，Bf(B)，OO'，QQ'在同一组对合中,故Bf(B)，PP'，QQ'在同一组对合中，则Bf(B)，Af(A)，Df(D)在同一组对合中
由一个点所引出的直线束交二次曲线的每一对点属于同一组对合,而我们可以很轻松地把我们的证明过程翻过来
最简单的方法是射影变换把锥线变成圆，但过于耍赖皮:) |
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发表于 2020-4-4 03:23
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