[几何] 对合

hbghlyj

一篇学习djc的讲座的笔记。欢迎补充和纠正！

hbghlyj

引入知识
一、花蝴蝶定理。欲知详情，直接搜贴"蝴蝶定理"，或者出门左转帖子399，或者右转帖子6850。
如果OE⊥FG，则EF=EG、EF'=EG'

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2020-4-2 23:17

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2020-4-2 23:17

练习：
1.$\triangle ABC$内切圆I切BC于X，A'是BC中点，求证：A'I平分AX

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2020-4-4 22:49

2.PT,PB是圆的两条切线，AB是直径，TH$\bot$AB，求证：AP平分TH

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2020-4-4 22:52

二、四边形蝴蝶定理
如果我把这个圆去掉，给你一个EF=EG的条件，有人不会证EF'=EG'的吗

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2020-4-2 23:30

交比证明
（FG|EG'）=B（FG|EG'）=B（KG|DC）=E（KG|DC）=E（KF|BA）=D（KF|BA）=D（GF|EF'）=（GF|EF'）

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2020-4-2 23:34

抄书几何瑰宝47页面积法证明（后面还有推广，就不抄了）

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2020-4-2 23:34

hbghlyj

进入正题
定义：一个映射f为对合的，如果对于任意a，均有f(f(a))=a，且f不是恒等映射，即存在a使得f(a)≠a，也就是说f的周期是2。
f是集X上的非恒等映射。f是对合$\Leftrightarrow$f可逆，且$f=f^{-1}$
证明：f是对合，则$f(X)⊃f(f(X))=X$，而$f(X)\subset X$，所以$f(X)=X$，f是满射；若f(x)=f(y)，则f(f(x))=f(f(y))，即x=y，所以f是单射。所以f可逆，所以对任意$a\in X$有$f^{-1}(f(f(a)))=f^{-1}(a)$，即$f=f^{-1}$
更多的代数/分析知识见维基百科..
射影几何中的对合，和这里的对合有微妙的差别
射影几何中的对合除了可以称映射以外，还可以称点对
对合映射“像是原像”的性质给了很大方便，使我们可以将定义域内的点两两配对
当然对合的性质并不会因为称呼的改变而有本质的不同，这里提一下只是为了待会叙述方便

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2020-4-2 23:51

在平面射影几何里面，我们说的对合变换，全都是“一维”的对合变换
这里的一维，可以是“一条射影直线的全部点”上的对合变换，可以是“过一个点的所有直线”上的对合变换，可以是“一个二次曲线上的所有点”的对合变换，可以是“一个二阶曲线上所有切线”的对合变换
就这四种，会对偶原理的话，这一共就两种
回顾知识（遗忘者自觉翻书）：
(1)对二次曲线的定义如下：二次曲线是成射影对应的两个线束对应直线交点的集合。直观来说，二次曲线是“点”构成的圆锥曲线，二阶曲线是“切线”构成的圆锥曲线，也就是一组切线的包络。二次曲线是点的集合，而二阶曲线是直线的集合
(2)一个平面上的映射，如果三点共线的像仍共线(也就是直线的像仍为直线)，则称为射影变换(直射变换)。共线四点的交比是射影变换的不变量。三个点怎么确定一个射影变换？你有三个点的像和原像，原像那边每给一个第四点，交比保过去，确定唯一的第四点
几个点可以确定“一个”对合变换？
至少不能少于两个点（A和它的像），因为两个点确定它“是个”对合变换
这里的“几个点”的意思是知道几个“点和它的像”
(3)保直线就有保交比，仅限实坐标系（$\mathbf{RP}^2$）

hbghlyj

f是一维射影直线$\mathbf{RP}$上的非恒等射影变换，如果存在点u满足f(f(u))=u，那么f是对合
证明：设v=f(u),则u=f(v).取不同于u,v的点w,设s=f(w),t=f(s),则我们可仿照前面的办法再构造一个对合$f_1$使得$f_1(u)=v,f_1(s)=t$,从而就有$f_1(f(u))=u,f_1(f(v))=v,f_1(f(s))=s$,这就是说,$f_1\circ f$有三个不同的不动点，因此$f_1\circ f$为恒等映射，即$f=f^{-1}$是对合
回顾：分式线性函数

hbghlyj

如果一个对合使直线上的一个点变到直线上另外一个点，那么这个对合将直线上所有点变为直线上所有点

hbghlyj

射影平面上所有有意义的对合全都是一维的。
射影平面上等角共轭是对合吗？
不是。如果给定三角形，得去除三边。外接圆和无穷远直线是对应的，但三边的等角共轭无法定义。

hbghlyj

回复 4# hbghlyj
交比证明：（AB|CD）=（f(A)f(B)|f(C)f(D)）=（BA|Df(D)）=（AB|f(D)D）
其中第一个等号是因为f是个射影变换，第二个是直接代值，第三个是交比基本性质，不熟悉的可以展开看一看
然后由于交比的唯一性，C=f(D)
由于C是直线上任意一点，故有f是个对合
思路就是取另一点构造它的映射 然后用交比证明这个“另一点”是“映射”的映射

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2020-4-3 00:12

hbghlyj

下面该一些实际应用了
我们来举一些简单的对合例子
关于一个点对称

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2020-4-3 00:16

下一个例子，共轴圆组

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2020-4-3 00:18

对合变换f，在第一个例子里面是反射变换，在第二个例子里面是反演变换
为什么这是对合？f(X)是把X映到XAB与直线的第二交点
根轴和直线的交点对无穷远点
反演保交比有没有简单证法？如果和反演中心不共线，直接线束交比就搞定了。如果和反演中心共线就比较麻烦

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2020-4-3 00:22

OAOBOCOD和Of（A）......f（D）对应垂直，交比相等。于是是射影变换。不过这个方法在O取不到的时候就会失效。
相切的共轴圆组没法定义对合。
然后是两圆外离的情况

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2020-4-3 00:24

这种情况我们没法取垂直了。但我们多出了两个极限点P和Q，稍有常识的人都会看出，这组共轴圆组都是P和Q的阿氏圆。于是（AB|PQ）=（f(A)f(B)|PQ），还是个射影变换，从而是个对合变换。
但是这两种证明方法不太统一，统一的方法是有的，就是利用反演变换

hbghlyj

好，我们现在已经知道，反演可以证明共轴圆组是对合。 那么我们能不能反过来说明，每一个对合变换都可以由反演来生成呢？比如对称，是关于无穷远点的反演，反演基圆为对称轴。对称可以搞定所有合同变换。
具体这事怎么证呢？直接同一法往上砸就行了。考虑无穷远点的像

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2020-4-3 00:29

就比如说这个对合变换。直接作以Af（A），Bf（B）为直径的圆，并以此生成共轴圆组。由于知道了Af（A），Bf（B），我们知道了四个点的像和原像，这个对合变换被唯一确定。

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2020-4-3 00:30

然后自然反演中心就有了。一个对合的反演中心称为这个对合的“对合中心”
这里提到的对合中心只是直线上的，其他的三种情形呢？对任意一条直线截共轴圆组会生成对合。

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2020-4-3 00:32

第四个例子。
笛沙格对合定理（不是笛沙格定理）的基础版。一条直线截四点形ABCD的六边，截出来的三组对边的交点是同一个对合。如果R和f（R）重合，而且QR=f（Q）R，那么就是开头的那个结论。直接导交比。定义域和值域都是这条红色直线

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2020-4-3 00:32

注意我的用词，“截出来的三组对边的交点是同一个对合”
对合给了我们六个点，而不是三个
这个能导出Candy
这里先不涉及二次曲线

hbghlyj

我们之前说过，“三个点”确定“一个对合”，而在确定是对合的情况下，“三个点”其实相当于“两对点”，意思是直径Pf（P）等三圆共轴，所以我们能说“Pf（P）”与“Qf（Q）”确定“一个对合”，而“Pf（P）”与“Rf（R）”也确定一个。六个点中取两对四个点证明交比相同可以推出对合。迪沙格对合定理是说，这两个对合是同一个。
证明：（Pf(P)|QR）=（f(P)P|f(Q)f(R)）
这里不要用三圆共轴，迪沙格对合定理只涉及到直线，在里面加入圆只会增加难度。证明是简单的，交比稍微导一下就出来了。这个就是把一个这个对合直接套进去。假设PQ和它们的像已知确立一个对合，这说明R的像刚好是f（R）
强调：迪沙格对合定理不是迪沙格定理

hbghlyj

回复 10# hbghlyj 是这样的，我们先采用Pf（P）与Qf（Q）的对合，然后证R在这个射影变换下的像是f（R）
设AD，BC交于Y则从C来看，（PQ，Rf（R））=（DAYf（R）），从B点来看，上式又等于（f（Q）f（P），Rf（R））
回到蝴蝶定理。

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2020-4-3 00:39

很容易看出来(F,G)(F',G')(K,L)在同一组对合中，其中E是不动点。我们这还有个条件没用，垂直。

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2020-4-3 00:40

我们可以看到这是特殊情况，更一般地，是完整版：
如果QR=Q'R'，那么由于基础版，我们有PQ=P'Q'

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2020-4-3 00:41

而且我们的确还有QS=Q'S'（用交比可证明）。这个结论一般被称为三翅蝴蝶。
征求导角相似解法！！（证明过程不会很简洁，但是交比很简洁）
还是和上面的一样，证明（SS'|QR）=（S'S|Q'R'）
（SQ，RS’）从A点来看等于（SB，CS’）从B点来看又等于（SR’，Q’S），其他的线段相等 立刻得到到了QS=Q’S’

hbghlyj

回顾圆锥曲线的交比定义（见1#)，这个定义其实是说:圆锥曲线虽然不可以像圆那样导角，但可以像圆那样导交比

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2020-4-3 13:29

任作一条过ABCD的二次曲线，它仍然能导交比，就仍然有对合.这就是迪沙格对合定理的完整版:
一条直线交过ABCD的二次曲线族中每条二次曲线的两点在同一个对合中
就是说,截出来的每一对点全都对合,然后他们对应线段全都相等。这个叙述怎么没有ABCD的边什么事了？因为退化曲线就是对边。这个对合由这条直线和ABCD四点确定，而二次曲线族是ABCD四点生成的。但这不是“一系列”对合，这是“一个”对合。当然你如果把相等扔了，它依然是对合。所以也就是说 一条直线截一个曲线簇。
例如，这个图是O，O'，两个圆环点（虚圆点）以及这条直线生成的对合（圆环点的话，详见梅向明高等几何P216）

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2020-4-3 13:34

这是理解共轴圆组的对合的一个更高的视角

hbghlyj

练习

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2020-4-3 22:49

1.AP,AQ是等角线，则AD,AT是等角线（等角线是线束对合）
作角平分线直接Apollonius圆
用今天讲的知识证明如下：
证明：设DT交AB，AC于X，Y，则由笛沙格对合定理，存在一一个对合使(X,Y)(D,T)(Q,P)为对应点。A(BD,QP)=(XD,QP)=(TY,QP)=A(TC,PQ)，由AQ,AP为等角线，AS,AT也为等角线。
2.$L_1$是过△ABC中四等心$I,I_1,I_2,I_3$的二次曲线，P,Q是一对等角共轭点，证明：P关于$L_1$的极线过Q.

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2020-4-3 22:49

isoconjugate
考虑不包括边的等角共轭变换f，易知是对合，而四等心是唯四的不动点 所以过四等心的曲线系调和分割x和f（x）
但可以直接考虑四边形$I,I_1,I_2,I_3$
3.坎迪定理的推广：P,M,N在$\odot O$的弦EF上，分别过M,N作弦AD,BC,CD,AB分别与EF交于点X,Y,若$\frac1{PM}+\frac1{PN}=\frac1{PE}+\frac1{PF}$，则$\frac1{PX}+\frac1{PY}=\frac1{PE}+\frac1{PF}$.

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2020-4-4 23:32

其实是等度线
由坎迪定理，(EN;FX)＝(EY;FM)
MN，EF，XY是同一个对合，P是不动点
部分课件 未命名4.gsp (18.52 KB)

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2020-4-3 22:56

力工

回复 1# hbghlyj
好奇，djc是哪位大神？

hbghlyj

回复 14# 力工
太好了。终于有回帖了。欢迎插楼补充知识或分享习题解法！

hbghlyj

知乎上有一篇更高视角的文章https://zhuanlan.zhihu.com/p/115319492
再把百度百科"对合"词条"射影几何"目抄下来并改了几个错别字：
因为恒同变换在几何上是无意义的，于是约定这里讨论的对合非恒同。因为在射影几何中，点线是对偶的，而二次点列可以由线束过渡到点列，所以在此讨论点列对合的性质，亦适用于线束和二次点列。
对合的射影几何判定，（这里约定P,P'为对应元素，对其他字母亦是如此）(PP',AB)=(P'P,A'B')（交比），对于不变元素EF，有(PP',EF)=-1（调和点列）。对于二次点列的对合，还有一些好的性质。对应元素的连线共点，称为对合中心，此点为对应射影轴的极点。
如右图中A,A';B,B';C,C'分别对合，所以它们连线交于公共点O.

而对于射影变换,如果A映射到A',B映射到B',那么AB'和A'B的交点在射影轴（直线）上。所以我们看到图中AB'和A'B的连线的交点在射影轴上，同样对应的，我们将这些割线退化到切线，得出对于对合变换，对应点的切线的交点也在射影轴上。通常从圆外一点引切线和割线的题目，通常也于二次点列的对合有关。通过配极，还可以得到对应元素的切线交于射影对应轴上。另外还有迪沙格对合定理，它联系了直线上的对合变换和二次曲线上的对合变换。即给定二次曲线上一个对合变换和其上一个固定点P，二次曲线上对合的点和P的连线确定过P点的一个线束，于是这个线束同任何固定直线的交点同样确定这条直线上的对合变换。

如有图，有椭圆上一点P以及对合的二次点列A,A';B,B';C,C'.连接PA,PA',PB,PB',PC,PC'等与定直线相交，同样确定直线上的对合变换：A,A';B,B';C,C。对于直线上对合变换，任取平面上一点X,过定点X和对合的点的圆将过另外一个定点Y，更加一般的：二次曲线系（二阶线束）交于四定点，每条二次曲线与一不过这四点的定直线的交点是对合的对应元素，其逆定理也成立。当二次曲线退化成直线，则变成完全四点形，当直线经过对边交点时，则成了完全四点形调和性定律。
再来几个课件
一维对合
一维基本形的对合
一维几何形式对合的几个问题
维基百科"对合"

hbghlyj

一个对合，它的两个不动点，与任意一组对合点，构成一个调和点列
证明：设A,B为一组对应点，C,D为不动点，(AC;BD)=(f(A)f(C);f(B)f(D))=(BC;AD)
$(BC;AD)=\frac1{(CB;AD)}=\frac1{1-(CA,BD)},(AC;BD)=\frac1{1-\frac1{(AC;BD)}}\Rightarrow(AC;BD)=2\Rightarrow (AB,CD)=-1$
回顾：(调和专题性质4)M是AB中点,$MC\cdot MD=MB^2\Leftrightarrow$与l在B相切的圆与过CD的圆的根轴过M.
我们站在对合的角度来看，四边形生成的调和做了什么？
完全四边形的视角，在对合语言下，是因为E和F都是对合不动点

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2020-4-3 23:31

这个就是反演视角下的调和。这个调和与对合关联的视角其实不是太有用，大多数情况下，如果能用这个，肯定有更简单的方法。
那么我们就正式进入下一个板块了：过一个点的所有直线”上的对合变换
线束对合和点列对合如出一辙，都是“对合”的“射影变换”。比如说这种，作每条直线的垂线这种操作

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2020-4-3 23:33

或者是作对称直线

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2020-4-3 23:34

这些都是使得两两夹角没有变的。这是比较好理解的例子。当然，我们不用再建立一遍线束的对合理论，因为我们知道点列和线束的变换是保交比的。所以一些简单的性质，我们可以直接从点列移植到线束上。比如说昨天这玩意

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2020-4-3 23:35

(OA,Of(A))等等是同一组线束对合。直到现在还无关对偶的事。（现在还无关对偶的事，现在进度还没到那）

hbghlyj

注意，点列对合与线束对合并不是一一对应，每条直线截一组线束对合截出来不同的点列对合，而每个透视点看点列对合看出来不同的线束对合（所以是多对多）。这是一个一般情况下的线束对合

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2020-4-3 23:43

我们昨天用共轴圆组生成了点列对合，那么，我们能用共轴圆组生成线束对合吗？
过一点外作共轴圆组的两条切线

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2020-4-3 23:46

*实际上不是只有根轴上的线束能这样生成，但根轴上的证起来简单
切线保证“对合”，根轴保证原像和像都在同一个圆上，不在根轴上的要二次曲线，利用二次曲线的性质知射影变换（二次曲线为满足射影变换的点的集合）
之前证点列的时候用的垂直，那么，这次证线束应该用垂直的对偶？
垂直的对偶不是那么好刻画的，而且这个比起点列的情况，实际上要稍微难一些。严格的对偶是取根轴上的无穷远点。
提示：

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2020-4-3 23:51

对合线束比起对合点列，一个显著的缺陷是它缺失了“对合中心”，所以点列那边的证法无法简单移植，只能另外找路子
迪沙格对合定理的基础版本：
四边形ABCDEF所在平面内有一点P，则PAPB、PCPD、PEPF属于同一个对合

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2020-4-3 23:52

把昨天证明里的点换成线，线换成点就是这个的证明：
P(EC,AD)到DE上，以A为视点到PC，以B视到AF，再以P视
回顾：P为密克点时显然。完四等角线不是任意点，完全四边形等角线满足的曲线是巨龙曲线，详见纯几何吧1927

hbghlyj

好，我们现在有了第二个迪沙格对合定理基础版了。在这种情况下，我们一般把看起来比较好看的叫作这个定理本身，把另一个长得像的称作它的对偶版本。至于怎么算长得像......查对偶原理，我不会主动讲到
然后第二个的完整版本是这样的：

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2020-4-3 23:56

对于任意一点P，P关于切$l_1,l_2,l_3,l_4$的二次曲线族的任一二次曲线的两条切线在同一组对合中*实际上四边形中，边先于点定义
我们昨天说过，以较高观点来看，直线截共轴圆组是迪沙格对合定理的体现**昨天并没有用高观点来解释,用的是反演生成对合这个解释的

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2020-4-3 23:59

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2020-4-3 23:59

那么现在这个切线，是迪沙格对合定理的对偶的体现吗？
因为五个条件确定二次曲线,共的两个点(圆环点)已经占了两个,剩下已经没有地方凑四条切线出来了。也就是说，如果共轴圆能被笛沙格对合定理证明的话就要有4条切线来切圆，但是5个条件定一个二次曲线，圆又必须过2个圆环点，所以条件有6个，不能定一个二次曲线系
*不是“确定一个圆只需要5个条件”，而是“五个条件能有限地确定出二次曲线”，而一个圆组有无限个圆
习题
(1)完全四边形等角线：

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2020-4-4 00:03

“沿某一直线对称”是线束对合，而这里的“某一直线”是角平分线。更多讨论见abababa的完全四边形科普帖子4175。
证明：作∠AOB的角分线l，因为∠AOC＝∠BOD，所以l也是∠COD的角分线，所以出现了一个对称映射，再由笛沙格对合定理可以得到OF OE也满足这个对称映射
(2)

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2020-4-4 00:09

这个用对合怎么证？说明对合的对称轴是MI即可*这个普通做可以导角来证，对合就作切线吧
如果没说M是密克点，只有∠AMB=∠DMC呢？一样地，作出切线，对合依然在

hbghlyj

(3)

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2020-4-4 00:15

通过平行的条件，导角说明AMD平分线是M处切线，然后把上面那个M移到这个圆上就好了
(4)牛顿定理：切四边形的圆锥曲线的中心在该四边形的牛顿线上

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2020-4-4 00:17

总之是这个样子的*无穷远点,因为都是中心

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2020-4-4 00:17

见纯几何吧2371，这个证明就是万里星空给的
外接圆锥曲线中心轨迹是九点曲线能不能类似地做？射影成垂心组，然后九点圆，接着射影回去
课件 未命名4 (1).gsp (38.16 KB)

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2020-4-4 00:21

回顾：两类非退化共轴圆组确定的对合的对合中心都是根轴和圆心连线的交点。两类共轴圆组确定的对合，对合中心所对应的反演，一个反演幂为正，另一个为负。