请教傅立叶正反变换后还原怎么证明

abababa

如题，假设傅立叶正变换定义为
\[F(\omega)=\mathcal{F}(f(t))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\]
反变换定义为
\[f(t)=\mathcal{F}^{-1}(F(\omega))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega\]

现在想证明$f(t)=\mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[f(t)]]$，我是这样做的：
\begin{align*}
\mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[f(t)]]&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\right]e^{i\omega t'}d\omega\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-i\omega(t-t')}d\omega\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt\sqrt{2\pi}\delta(t-t')=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}f(t')
\end{align*}
请问是哪里出了问题？

abababa

回复 2# 战巡

谢谢，但我还是不懂，这个积分不是$1$的傅立叶变换吗，按1楼的定义，它的结果不应该是$\sqrt{2\pi}\delta(t-t')$吗？

我用Mathematica算的时候是这样的：
FourierTransform[1, w, t-t']

abababa

回复 4# 战巡

谢谢，我终于明白了，我总是差那个系数忘了乘上去。

我在网上查了很多证明，最终都是依赖于这个$\delta$函数的，只是前面那个系数有区别。如果不通过$\delta$函数，要如何证明傅立叶正反变换后还原回函数本身这个问题呢？

abababa

回复 6# 业余的业余

谢谢，这种方式以前看过，应该是一种定义傅立叶正反变换的方式，就是把那个级数按周期无穷的形式写出来，然后说里面的积分是正变换，外面的积分是反变换，或者交换正反变换。
但如果不这样从级数定义，而是直接给出一楼那样的积分定义，就是要证明$f(t)$经过两个积分后能还原回本身，也就是求证（避免符号冲突，当$f(t)$和$f(x)$是同一映射时）：
\[f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx\right]e^{i\omega x}d\omega\]
这样如果不依赖$\delta$函数，还能证明吗？