[不等式] 内心Ceva三角形的求逆

hbghlyj

$\triangle ABC$的内角平分线交对边于D,E,F，$u=EF^2,v=FD^2,w=DE^2$，求证\[u+v+w>\frac{49}{32}\max\{u,v,w\}\]

青青子衿

回复 1# hbghlyj

求正数u,v,w应满足的条件，使关于x,y,z轮换的方程组
$u=(2x+y+z)^2(8(x+y)(y+z)(z+x)+yz(x+y+z))$
$v=\cdots$
$w=\cdots$
有正数解？
----------
问题渊源
三角形的内心的Ceva三角形的形状应该满足怎样的条件？
设$\angle$ABC的角平分线与对边交于D,E,F,则$EF=\frac{abc(abc+(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c))}{(a+b)^2(a+c)^2}$
故$EF:FD:DE=(b+c)^2(abc+(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)):\cdots:\cdots=(2x+y+z)^2(8(x+y)(y+z)(z+x)+yz(x+y+z)):\cdots:\cdots$,
其中$x=\frac{b+c-a}2,y=\cdots,z=\cdots.$
hbghlyj 发表于 2020-3-24 10:21

你应该是粗心了，没带上平方
\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
\big|EF\big|^2=\dfrac{abc\Big(abc+(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)\Big)}{(a+b)^2(a+c)^2}\\
\big|DF\big|^2=\dfrac{abc\Big(abc+(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)\Big)}{(a+b)^2(b+c)^2}\\
\big|DE\big|^2=\dfrac{abc\Big(abc+(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)\Big)}{(a+c)^2(b+c)^2}
\end{split}
\right.
\end{align*}

hbghlyj

我来重新叙述一下题干：
x,y,z为任意正数，
$u = (2 x + y + z)^2 (8 (x + y) (y + z) (z + x) + y z (x + y + z))$
$v = (x + 2 y + z)^2 (8 (x + y) (y + z) (z + x) + z x (x + y + z))$
$w = (x + y + 2 z)^2 (8 (x + y) (y + z) (z + x) + x y (x + y + z))$
求证：\[(v+w-2\sqrt2u)(w+u-2\sqrt2v)(u+v-2\sqrt2w)<0\]

hbghlyj

如果证明了这个不等式，问题就解决了。
这是因为，把这个u,v,w在平面上的区域用散点扫描出来(红色区域)，跟这个不等式所描述的完全一致。

2020-6-20 13:22

三个边界是三角形退化成线段的三种情况
中间是一个以AB为焦点，离心率为√2/8的椭圆，也就是z=0
两边是笛卡尔卵形线：
左边是这样的P点轨迹：PA=(PB+AB)/(2√2)
右边是这样的P点轨迹：PB=(PA+AB)/(2√2)
C点的区域就是如这个图：

2021-12-26 22:07

所示的

kuing

我来重新叙述一下题干：
x,y,z为任意正数，
$u = (2 x + y + z)^2 (8 (x + y) (y + z) (z + x) + y z (x + y + z))$
$v = (x + 2 y + z)^2 (8 (x + y) (y + z) (z + x) + z x (x + y + z))$
$w = (x + y + 2 z)^2 (8 (x + y) (y + z) (z + x) + x y (x + y + z))$
求证：\[(v+w-2\sqrt2u)(w+u-2\sqrt2v)(u+v-2\sqrt2w)<0\]
hbghlyj 发表于 2020-6-20 13:07

`x=y=1`, `z\to0` 时 `u:v:w\to2:2:1` 这时待证式的三个括号一正两负。

hbghlyj

回复 7# kuing
抱歉抱歉抱歉。。是我操作的时候代错数了。。
$(u+v-\frac{17}{32}w)(v+w-\frac{17}{32}u)(w+u-\frac{17}{32}v)>0$
才是对的咯

hbghlyj

把上面所有楼层总结一下：
我们想要得到三个正数u,v,w需满足的条件，使得存在一个△ABC，其内角平分线交对边于D,E,F，$EF^2:FD^2:DE^2=u:v:w$
思路：
设$x=\frac{b+c-a}2$，类似定义y,z，则
$u:v:w=(2x+y+z)^2(8(x+y)(y+z)(z+x)+yz(x+y+z)):\cdots:\cdots$
结论：
u,v,w需满足的条件为
$\begin{cases}u+v>\frac{17}{32}w\\v+w>\frac{17}{32}u\\w+u>\frac{17}{32}v\end{cases}$

kuing

回复 8# hbghlyj

`x=y=1`, `z\to\infty` 时 `(u+v)/w\to17/32`，且直接展开计算 `u+v-17/32w` 的系数全正，所以 `u+v>17/32w` 成立且系数最佳。

hbghlyj

2020-6-21 13:22

$(\frac uw,\frac vw)$的区域是图中的绿色区域，说明那三个直线的边界是不够的，还得有别的边界

2020-6-21 13:37

uvw.gsp (6.25 KB)

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2020-6-21 13:23

hbghlyj

如果$A_1,B_1$是△ABC中∠A,∠B的内角平分线与对应边的交点,那么
$ A_{1} B_{1}=\frac{a b c }{(c+a)(c+b) } \sqrt{1+2 \frac{r_{3}}R}$
式中$r_3$为C角对应的旁切圆半径

hbghlyj

https://reference.wolfram.com/la ... GeneralRealSolution
https://www.maplesoft.com/suppor ... 2FRealTriangularize