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[几何] 第一费马点与第二费马点

本帖最后由 青青子衿 于 2020-3-15 22:07 编辑

555422.png
2020-3-15 18:17

第一费马点到三顶点的距离:
\begin{align*}  
\begin{split}  
\left|AF_{2}\right|&=\dfrac{\sqrt{\,3}\,(b^2+c^2-a^2)+4\Delta}{\sqrt{6\Big(a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\,\Delta \Big)}}\\  
\left|BF_{1}\right|&=\dfrac{\sqrt{\,3}\,(a^2+c^2-b^2)+4\Delta\,}{\sqrt{6\Big(a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\,\Delta \Big)}}\\  
\left|CF_{1}\right|&=\dfrac{\sqrt{\,3}\,(a^2+b^2-c^2)+4\Delta\,}{\sqrt{6\Big(a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}\,\Delta \Big)}}\\
\\
4\Delta&=\sqrt{\big(a+b+c\big)\big(b+c-a\big)\big(a+c-b\big)\big(a+b-c\big)}\>
\end{split}
\end{align*}
第二费马点到三顶点的距离:
\begin{align*}
\begin{split}
\left|AF_{2}\right|&=\dfrac{\Bigg|\sqrt{\,3}\,(b^2+c^2-a^2)-4\Delta \Bigg|}{\sqrt{6\Big(a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}\,\Delta \Big)}}\\
\left|BF_{2}\right|&=\dfrac{\Bigg|\sqrt{\,3}\,(a^2+c^2-b^2)-4\Delta \Bigg|\,}{\sqrt{6\Big(a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}\,\Delta \Big)}}\\
\left|CF_{2}\right|&=\dfrac{\Bigg|\sqrt{\,3}\,(a^2+b^2-c^2)-4\Delta \Bigg|\,}{\sqrt{6\Big(a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}\,\Delta \Big)}}\\
\\
4\Delta&=\sqrt{\big(a+b+c\big)\big(b+c-a\big)\big(a+c-b\big)\big(a+b-c\big)}\>
\end{split}
\end{align*}
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源自知乎提问,第一费马点


命题:设最大角小于 $120^\circ$ 的 $\triangle ABC$ 的费马点为 $P,$ 记 $x=PA,$ $y=PB,$ $z=PC$ 则

$x=\frac {b^2+c^2-2a^2+k^2}{3k},$ $y=\frac {c^2+a^2-2b^2+k^2}{3k},$ $z=\frac {a^2+b^2-2c^2+k^2}{3k},$ 其中 $k^2=\frac 12\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\sqrt 3 S_{\triangle}.$

提示与简证:

由余弦定理可得三组等式 $a^2=y^2+z^2+yz,$ $(b^2=\cdots,c^2=\cdots )$

以及面积公式 $S_{\triangle BPC}=\frac {\sqrt 3}4yz,$ $(S_{\triangle BPA}=\cdots, \ S_{\triangle APC}=\cdots,)$ 三式相加便有 $S_{\triangle}=\frac {\sqrt 3}4(xy+yz+zx),$ 从而 $(x+y+z)^2=\frac 12(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt 3S_{\triangle}=k^2.$

再联立解 $x+y+z=k,\ a^2=y^2+z^2+yz,$ $(b^2=\cdots,c^2=\cdots )$ 即得.

附注:业余数学家费马提出:在平面上给出 $A,B,C$ 三点,求一点 $P$ 使距离和 $PA+PB+PC$达到最小. 这个问题数学上称费马问题,满足条件的点 $P$ 称费马点.

特别的,到三角形三顶点距离之和最小的点称为三角形的费马点.

此外,可证 $\frac ax+\frac by+\frac cz\geqslant \frac {6\sqrt 3r}R.$ 其中 $R,r$ 分别为外接圆与内切圆的半径.



更多可参阅“大部头”《几何瑰宝-平面几何500名题暨1000条定理(上)》费马点问题 相关章节.

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