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[函数] 极值点问题

函数$f(x)=\dfrac{x}{e^x}  $,记函数$ f(x) $的极值点为k,若$ f(m)=f(n),且m<n $,证明:$ 2m+n>e^k $
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漂移/偏移 套路呗:
易知 `k=1`,条件即 `m/e^m=n/e^n`,得 `\ln(n/m)=n-m`,可以证明当 `x>1` 时
\[\ln x>e\cdot\frac{x-1}{x+2},\]所以
\[n-m=\ln\frac nm>e\cdot\frac{\frac nm-1}{\frac nm+2}=e\cdot\frac{n-m}{n+2m},\]即 `n+2m>e`。

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回复 2# kuing

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本帖最后由 敬畏数学 于 2020-3-19 15:19 编辑

回复 2# kuing
高手,就是那个不等式证不出来。请教?那个不等式两边同乘(x+2)即可。这题有点反常态(一般lnx前面为常数最好)。因为求导后另外一个极值点无法求出。需要变形处理。

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回复 2# kuing

$lnx>e\frac{x-1}{x+2}$第一次见到,高,实在是高啊。

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回复 5# 力工
这个不等式直接证明好像不行,主要是零点区间卡不住!一定要变形。。。。??

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