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[数论] 来自人教群一道最大奇因数

鄂B****林(3086*****) 2020/3/6 12:39:49
请教一下,16题
QQ截图20200306165925.png
2020-3-6 17:00

答案这么给:
QQ截图20200306165956.png
2020-3-6 17:00

(题目来自湖南师范大学附属中学2020届高三月考(六)数学(理)试题)

QQ图片20200306164937.jpg
2020-3-6 16:49
这给的答案也太坑了点……

其实在 2011 年我就撸过类似的题——《撸题集》P.794~795 题目 5.6.36。
当年的比较容易,可以建议递推关系,现在这个麻烦一些,但也没必要像答案那样全部列出来算,可以继续沿用书中解法二的方法。

首先解决第一个和式,因为 `f(2k+1)=2k+1`, `f(2k)=f(k)`,故
\begin{align*}
&f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(100)\\
={}&1+3+5+\cdots+99+f(2)+f(4)+f(6)+\cdots+f(100)\\
={}&1+3+5+\cdots+99+f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50),
\end{align*}所以
\[f(51)+f(52)+\cdots+f(100)=1+3+5+\cdots+99=2500;\]
再处理第二个和式,由 `[50/2]=25`, `[50/2^2]=12`, `[50/2^3]=6`, `[50/2^4]=3`, `[50/2^5]=1`,得
\begin{align*}
&f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)\\
={}&f(1)+f(3)+f(5)+\cdots+f(49)\\
&+f(2\cdot1)+f(2\cdot3)+f(2\cdot5)+\cdots+f(2\cdot25)\\
&+f(2^2\cdot1)+f(2^2\cdot3)+f(2^2\cdot5)+\cdots+f(2^2\cdot11)\\
&+f(2^3\cdot1)+f(2^3\cdot3)+f(2^3\cdot5)\\
&+f(2^4\cdot1)+f(2^4\cdot3)\\
&+f(2^5\cdot1)\\
={}&1+3+5+\cdots+49\\
&+1+3+5+\cdots+25\\
&+1+3+5+\cdots+11\\
&+1+3+5\\
&+1+3\\
&+1\\
={}&\left( \frac{50}2 \right)^2+\left( \frac{25+1}2 \right)^2+\left( \frac{12}2 \right)^2+\left( \frac62 \right)^2+\left( \frac{3+1}2 \right)^2+1\\
={}&844,
\end{align*}所以结果就是 `2500-844=1656`。

总结起来就是:给定正整数 `N`,令
\begin{align*}
a_k&=\left[ \frac N{2^k} \right],\\
b_k&=\led
&\left( \frac{a_k}2 \right)^2, && a_k~\text{为偶数,}\\
&\left( \frac{a_k+1}2 \right)^2, && a_k~\text{为奇数,}
\endled
\end{align*}其中 `k` 是自然数,则
\[\sum_{i=1}^Nf(i)=\sum_{i=0}^{\infty}b_i.\]
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这么精彩的解答怎么没人回复呢?

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回复 2# myyour


    曲高和寡

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本帖最后由 isee 于 2021-3-16 19:16 编辑

回复 2# myyour


    太难了,玩不起,只会一一枚举

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回复 1# kuing

最后这个求1到50的和,那个分子会不会有什么规律呢?
\[
\left( \frac{49+1}2 \right)^2+\left( \frac{25+1}2 \right)^2+\left( \frac{11+1}2 \right)^2+\left( \frac{5+1}{2} \right)^2+\left( \frac{3+1}2 \right)^2+\left(\frac{1+1}{2}\right)^2
\]
如果有什么规律的话是不是能得出公式,直接算出和来?

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回复 5# abababa

我最后那个总结你没看?

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回复 6# kuing

看了,最后的那个公式,还是需要一项一项地计算,因为不能不去判断$a_k$的情况,而$a_k$的情况还需要用取整符号来决定,这样相邻两项、或者连续几项的求和就不太容易有好的公式表示吧。
我是想会不会存在好的公式表达,能把连续几项不通过取整判断就能直接算出结果来,比如连续自然数的平方求和那种,对这个问题会不会有这样简单的表达式呢?

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回复 7# abababa

那我就不知道了,像 n! 尾有几个零之类的问题也是类似于这样算,也没见过简化公式啊……

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本帖最后由 tommywong 于 2021-3-17 09:24 编辑

雖然不可以脫光,但是脫掉一件還是可以的

$\displaystyle b_k=\left[\frac{a_k+1}{2}\right]^2= \left[\frac{[N/2^k+1]}{2}\right]^2=
\left[\frac{N+2^k}{2^{k+1}}\right]^2$

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