对称半正定矩阵必有分解$A=UU^T$,则$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)=\mathrm{tr}((BU)U^T)=\mathrm{tr}(U^TBU)\geqslant 0$。最后是因为B为半正定,故$U^TBU$也是半正定。剩下就要证明取等号条件了,显然当A和B任何一个为零,等号成立。接下来考虑它们都不为零的情况。
因为A实对称,则必然有正交矩阵满足$P^TAP=S=\mathrm{diag}[s_1,s_2,\cdots,s_k,0,0,\cdots,0]$,其中$s_1,s_2,\cdots,s_k>0$
则$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(PSP^TB)=\mathrm{tr}(PS(P^TBP)P^T)=\mathrm{tr}(PSVP^T)=\mathrm{tr}(PP^TSV)=\mathrm{tr}(SV)$,这里$V=P^TBP$为半正定对称矩阵。既然$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(SV)=0$,而$S$为半正定对角矩阵,故$SV=0$,从而$AB=PSVP^T=0$. |