一起来翻译Encyclopedia of Quadri-Figures

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1.介绍
三角形和四角形/四边形之间存在明显差异。三角形有3个点和3个线段。一个四角形为4点之并,它有6条边。当我们将四边形视为4条线的复数时，我们必须处理有4线和6个交点。可以在知道三角形的3个元素的情况下构造一个三角形。但是一个四边形不能用该图的4个元素类似地构造。
这与使用三角形完全不同代数上也有差异。
在三角形环境中通常使用三线或重心坐标。因为一个点可以与一个三角形的3个边长或3个角度相关。但是在相应情况下，4个边长或4个角度不足以定义一个四边形。
三角形的3个顶点通常是（1：0：0），（0：1：0），（0：0：1）。介绍一个第四点提出了如何对该新点进行分类的问题。
在本文中，我们将用4点和/或4条线对3种类型的构造进行分类。
在大多数情况下，每种构造类型的点或线仅与彼此相关。
每种类型都有自己的中心定义。这将解决几个问题，并且与“三角形几何”中的现有实践有关。
点的同构坐标三元组和线的系数三元组以及圆锥曲线方程将根据开发的系统给出。
没有综合证明。但是，随着发达的代数系统比较容易证明所有描述的特性。
使用Mathematica软件使用以下公式的精彩集合进行计算Francisco Javier García Capitán的Baricentricas [10]中的公式和例程。特别感谢他对Mathematica软件的宝贵建议。
因为代数计算的中间结果通常很长，所以仅给出最终结果。许多计算结果在固定参考中进行检查系统。但是尽管如此，还是可能发生错误或错别字。在我找到信息的地方引用了文献和互联网资源关于点，线和圆锥曲线。我发现自己的其余点，线和圆锥曲线在撰写本文的过程中。但是，其中一些可能是已知的，在其他地方可用。还要特别感谢Peter Moses，他帮助我使用了英语，因为英语不是我的母语。特别感谢Bernard Gibert，他愿意检查“Quadri-cubics”并对其进行分类。特别感谢Eckart Schmidt辛苦工作了174页本文的第一个概念，并做出了许多有用的补充。他说服我也使用与四边形的对角三角形（DT）有关的坐标和四边形。大部分DT坐标和DT表达式都来自他的手。我们用德语和英语交替进行了很好的思想交流。

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2.预备知识
在本文中，我们处理有4条线和/或4点的图形，叫做完全四边形(Quadri-figures)
四点形和四线形这两个词的用法有很多区别。
但由于需要进一步的理解，因此在制作时必须非常精确正确的定义。
我们使用此术语。
四线形Quadrilateral
四线形是由4条线组成的平面图形，其中没有3条是共点的。
在多次使用的情况下，将使用前缀和缩写QL。
四点形Quadrangle
四点形是由4个点组成的平面图形，其中三个不共线。
在多次使用的情况下，将使用前缀和缩写QA。
四边形Quadrigon
四边形是一个包含4个点（任3个不共线）和4条线的多边形
在这4个点之间，每条线仅连接4个点中的2个，每个点是4条线中只有2条的交点。
在多次使用的情况下，将使用前缀和缩写QG。
重要的是，四线形仅由4条不共点的随机线组成，没有任何其他条件或约束。
同样，四点形仅由4个随机点组成，没有连接线，没有任何其他条件或约束。两种图形（射影地看）在性质上并无任何区别
但是，四边形由4个随机点组成，循环地确定四条直线。它也可以看作是由4条随机线组成，循环地确定4个交点。现在点和线的顺序很重要。

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3.四边形的定义
四点形和四线形之间存在差异。然而，这种区分不足以描述所有可构造点。
4点和/或4线的环境。这就是为什么在本章中将有一个新概念被介绍为”四点形”
四边形是一个包含4个点（其中任3个不共线）和4条线的多边形
在这4个点之间，每条线仅连接4个点中的2个，每个点是4条线中只有2条的交点。
没有凸四边形的限制。
为什么会有这个新概念？
1.它是对称的，并且根据对偶原理。就像一个三角形
2.它是通常意义下的四边形：4点和4线以一定顺序排列。
3.可以用2种等效和对称方式扩展：更多线和更多点。
4.点的某些构造不能在四点形或四线形环境，但可以在四边形环境中完成。
四边形是最具体的概念。它确定线和线的循环顺序。与四点形和四线形不同，线和点现在具有对称的地位。
结果是，像邻边（或点）和对边（或点）变得很重要

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2020-2-22 22:04

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四线形
四线形是由4条线组成的图形，其中没有3条是共点的。
该图可以以几种方式划分。
a.4×1线。这种情况是显而易见的。
b.6个线对。这给出了6个交点。
c.4个三线组。这给出了4个三角形(component triangles)。
在凸四边形的情况下，可以配成两对，四边形内接部分的面积=每对三角形的面积之差。

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2020-2-22 22:12

d.3个循环四线组。这给出了3个“四边形”。

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2020-2-22 22:15

四点形
四点形是由4个点组成的平面图形，其中任三个不共线。该图可以以几种方式划分。
a.4×1点。 这种情况是显而易见的。
b.6个点对。 这给出了6条“边”。
c.4个三点组。 这给出了4个“三角形”。
如果是凸四边形，可配成2对，四边形的内接部分的面积=每对三角形的面积之和。

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2020-2-22 22:18

d.3个循环4点组.这给出了3个“四边形"

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2020-2-22 22:21

注意,"三角形""四边形"是"四点形""四线形"的一部分.

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4.完全四边形中心的定义
构造层次
处理完全四边形时，如上所解释，点，线，三角形，四边形，四点形和四线形表示构造层次。
在点，线或三角形的平面上构造对象时，此构造层次通常是显而易见的。但是，当对象是在四点形，四线形或四边形层次就通常不分明了。知道在哪个层次构造对象仍然很重要，因为每个层次都需要不同的方法。正确地辨别层次才能描述和计算这些对象。
确定完全四边形的类型
在完全四边形中通常不清楚构造的基础。是否基于4点，4条线或两者？
以下是一些工具，可用来发现完全四边形的类型。
根据四点形中的4个点构造目标点时，则可以识别出三个分量三角形和三个分量四边形。当对另一个三角形或另一个三角形使用相同的构造方法时会发生两件事：
构造点与目标点不一致。在这种情况下，目标点不是四点形点。
构造点与目标点一致。在这种情况下，目标点可能是四点形点。
通过对所有其他分量三角形或四边形执行相同的方法并验证与目标的相等性可以推断出目标点确实是四点形点。
根据四边形的4条线构造目标点时，则可以识别4个分量三角形和3个分量四边形。当对另一个三角形或另一个三角形使用相同的构造方法时会发生两件事：
构造点与目标点不一致。在这种情况下，目标点不是四线形点。
构造点与目标点一致。在这种情况下，目标点可能是四线形点。
通过对所有其他分量三角形或四边形执行相同的方法并验证与目标的相等性可以推断出目标点确实是四线形点。
如果基于4点或4线的目标点既不是四点形点也不是四线形点，就是四边形点
三种类型的完全四边形中心
这使我们得出四点形中心，四线形中心和四边形中心
正式定义：
四点形中心QA为：
与4个随机点$P_1,P_2,P_3,P_4$相关的点（其中任3个不共线），
QA可以描述为$P_i$关于$\triangle P_jP_kP_l$的某种变换
并且对于(i,j,k,l)∈(1,2,3,4)的所有排列都是相同的点，或者
QA可以描述为$P_i$关于四边形$P_iP_jP_kP_l$的某种变换
并且对于(i,j,k,l)∈(1,2,3,4)的所有排列都是相同的点。
四线形中心QL为：
与4条随机线$L_1,L_2,L_3,L_4$相关的点(其中任3线不共点)
QL可以描述为$L_i$关于$\triangle L_jL_kL_l$的某种变换
并且对于(i,j,k,l)∈(1,2,3,4)的所有排列都是相同的点，或者
QL可以描述为$L_i$关于四边形$L_iL_jL_kL_l$的某种变换
并且对于(i,j,k,l)∈(1,2,3,4)的所有排列都是相同的点。
四边形中心QG是：
与四边形的4点和4条线相关的点，不是四边形中心或四边形中心。
下面举两个熟知的例子：
QA-P1: QA重心
四边形一组对边的中点所在直线称为四边形的一条中线
四边形三条中线共点，所共之点为各条中线的中点该点称为四点形的重心G
l是一条任意直线,则G到l的有向距离是四点到l的有向距离的平均

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2020-2-22 22:57

还有另一种使用分量三角形构造四点形重心的方法。
G是分量三角形和剩下的顶点的三等分点，从这里容易看出，它是一个四点形中心。
内/外Van Aubel点
以$P_1P_2,P_2,P_3,P_3,P_4,P_4P_1$为边向外作一个正方形，中心为$O_{12},O_{23},O_{34},O_{41}$。
线段$O_{12}O_{34}$和$O_{23}O_{41}$垂直且相等，交点是QG-2P6a，即外Van Aubel点
向内作正方形会出现类似情形，交点是QG-2P6b，即内Van Aubel点。

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2020-2-22 23:01

由于它是基于“两组对边”，所以，它是一个四边形中心。

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完全四边形中心的代数描述
由于我们在一个平面上使用4个点和/或4条线，因此我们可以使用2个笛卡尔坐标以及3个齐次坐标。我们还需要记住一个适合四线形的坐标系，而不适合于四点形。
四点形中的方法是在四个点中找三个形成参考三角形。QA是第四个点在参考三角形中的变换的像。举个例子，作第四个点在参考三角形中的等角共轭，它就是一个QA：

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2020-2-22 23:21

随机选择3个点作为参考三角形的顶点,
给他们平等的坐标(1:0:0),(0:1:0)和(0:0:1),用坐标(p:q:r)标识第四个点。
现在可以将每个QA
(当使用重心坐标时)表示为(a,b,c)和(p,q,r)的函数,其中a,b,c是参考三角形的边长,或者
(当使用三线坐标时)表示为(A,B,C)和(p,q,r)的函数,其中A,B,C是参考三角形的角度。
以四点形的重心和Euler-Poncelet点为例。
四点形的重心具有以下坐标：2p+q+r::
Euler-Poncelet点：$p(S_Bq-S_Cr)(b^2r(p+q)-c^2q(p+r))::$(后两个坐标省略,可对称地写出)
其中$S_A=\frac{b^2+c^2-a^2}2$,等等
可以看出，结构的对称性反映在公式的对称性上。
正确地识别中心的构造层次可以正确地协调公式，可以代数描述这些中心之间的关系，例如共线,共锥线等
QL可以作相同的考虑。 系统中有3条线标记为(1:0:0),(0:1:0)和(0:0:1),第四条标记为(l:m:n)
注意,与QA情况不同,第一系数字母为“ l”,在QA中第四点坐标由（p：q：r）表示,第一系数字母为“ p”。这样做是为了直接识别完全四边形坐标。
字母“ l”代表“线”(line)，表示使用QL坐标。 字母“p”代表“点”(point)，表明使用QA坐标。
举一个QL中心的例子：密克(Miquel)点，它的坐标为$\frac{a^2mn}{m-n}::$
用QA坐标表示为$a^2(p+q)(p+q+r):a^2pq+c^2qr-b^2(qr+rp+pq)+2S_Bq^2:c^2(r+q)(p+q+r)$
可见,QL中心用QA坐标表示出来丧失了其对称性。这是因为四点形中包含3个四边形，每个代表一个四线形，每个四线形具有不同的Miquel点。 所以
实际上，Miquel点在QA环境中分散为三个点。
然而，有时在搜索QA中心和QL中心之间的交互以计算QA环境中的QL中心时很有用，反之亦然。
因此，现在我们有了QA中心和QL中心的代数描述。但我们还有四边形中心。在QG中心中，构造中使用了顶点和线段的循环顺序。描述QA中心和QL中心的代数方式对于这些QG中心是不必要的。原因是，通常使用的对点、邻点的概念，几乎没有与参考三角形的联系。
我发现一个具有射影坐标的简单笛卡尔坐标系（即将x和y坐标组合为z坐标以表示无穷远点）通常会给出最简单和对称的结果。这并不奇怪，因为笛卡尔坐标系在每个坐标系中都有4个象限我们甚至可以固定顶点，以使对角线交于原点。但是，由于与四点形和四线形的许多关系，QA和QL坐标很重要，将在本文中提及。
但是，QG点也能用三个对称的坐标表示。这将在第7章中展示

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5,四点形对象
5.0四点形的一般信息
QA / 1:描述QA点的系统方法
在本书中,四点形使用了2个坐标系:
1. QA-CT坐标系,其中四点形的3个任意点形成一个分量三角形(CT)。此分量三角形定义为参考三角形，其顶点坐标为(1:0:0),(0:1:0),(0:0:1)。第四点定义为(p:q:r)。
2. QA-DT坐标系,其中QA对角三角形(DT,参阅QA-Tr1)定义为参考三角形,其顶点坐标为(1:0:0),(0:1:0),(0:0:1)。四边形的任意点定义为(p:q:r)。
现在,其他3个点构成了Pi关于QA对角三角形的的反塞瓦三角形，其顶点为(-p:q:r),(p:-q:r),(p:q:-r)
两个坐标系可以相互转换(请参阅QA / 6和QA / 7)。
现在可以将每个构造的对象标识为:(f(a,b,c,p,q,r):f(b,c,a,q,r,p):f(c,a,b,r,p,q))
其中a,b,c代表CT或DT三角形的边长,而p,q,r代表CT或DT三角形的重心坐标。
在以下几页的要点说明中,仅写出3个坐标中的第一个，其他2个坐标可以通过循环得出:
•a> b> c> a>等
•p> q> r> p>等
此外,代数表达式中使用Conway符号:
$S_A =\frac{-a^2 + b^2 + c^2}2$
$S_ω=\frac{a^2 + b^2 + c^2}2$
$S=\sqrt{S_AS_B+S_BS_C+S_CS_A}=2Δ$
其中$Δ=\S{ABC}=\frac14\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}$
四点形变换
在QA中心的描述中,经常使用该技术把一个四点形变成另一个四点形。这是通过对Pi关于三角形Pj.Pk.Pl执行一个变换T完成的(对于(i,j,k,l)(1,2,3,4)的所有排列)。这产生了一个新的四边形P1'.P2'.P3'.P4'。
因此,可以对四点形P1'.P2'.P3'.P4'执行相同的变换T
产生另一个四点形P1’,P2’,P3’,P4’。这个四边形叫做第二代T四点形。
特别是参考四边形和第二代T型四边形是顺位似的。因此,这产生了一个“顺位似中心(Center of Homothecy)”,在本文中也被命名为”Homothetic Center”。
四点形变换的另一种技术是通过确定三角形Pj,Pk,Pl的中心(见[12])Xi (对于所有排列(i,j,k,l)(1,2,3,4))。这个产生(第一代)X四点形。
可以对(第一代)X四点形执行相同的变换。该四边形被称为第二代X-四点形。
同样,参考四边形和第二代X-四点形通常是顺位似的。同样,这会产生一个“顺位似中心”
QA / 2：QA线表
在下表中，提及的所有QA点省略了前缀“ QA-”。在QA-P1至QA-P34范围内的所有线均已考虑在内。当线上有2个以上的点时，它们由2个序号最小的点定义
这些QA线将通过其属性进行进一步描述：
QA-L1: P1, P2, P3, P34
QA-L2: P2, P4, P6
QA-L3: P1, P5, P10, P18, P20, P22, P25, P26 (Centroids Line)
QA-L4: P1, P6, P23
QA-L5: P10, P11, P12, P13 (QA-DT -Euler Line)
QA-L6: P1, P15 (Newton-Morley Line)
其他QA线没有名称但其上至少有三个点
P1,P4,P7
P1,P14,P24
P1,P16,P21
P1,P32,P33
P2,P10,P29
P2,P11,P30
P3,P20,P29
P4,P8,P23,P32
P4,P10,P28
P5,P17,P19,P21
P5,P29,P34
P6,P28,P29
P10,P16,P19,P31
P12,P14,P33
P12,P29,P30
P20,P21,P31
QA / 3：平行的QA线表
在下表中，提及的所有QA点省略了前缀“ QA-”。QA-P1至QA-P34范围内的所有线均已考虑在内。当线上有2个以上的点时，它们由2个序号最小的点定义
这些QA线是平行的：
P1.P2 // P22.P29
P1.P6 // P3.P4 // QA-Cu1的渐近线
P1.P11 // P3.P30 // P12.P20 // P13.P22 (第四条与第一条,第三条等距)
P1.P12 // P11.P22
P1.P13 // P5.P12 // P11.P20
P1.P16 // P19.P20 // P22.P31 (第三条与第一条,第二条等距)
P1.P19 // P16.P22
P1.P28 // P4.P5
P1.P29 // P2.P20 // P3.P5 (第一条与第二条,第二条等距)
P1.P31 // P5.P17 // P10.P27 // P16.P20(第一条与第二条,第四条等距)
P1.P32 // P2.P4 // P7.P8 // P12.P24
P2.P5 // P3.P20 // P10.P34 第三条与第一条的距离为第三条,第二条距离的两倍
P2.P10 // P25.P34
P2.P11 // P13.P29
P2.P12 // P11.P29
P2.P16 // P3.P21 // P29.P31 第三条与第一条,第二条等距
P2.P19 // P16.P29
P2.P21 // P3.P16
P2.P23 // P3.P32
P2.P25 // P3.P26
P2.P26 // P3.P25
P3.P10 // P26.P34
P3.P12 // P20.P30
P3.P24 // P14.P34
P3.P30 // P12.P20
P4.P12 // P13.P28
P4.P19 // P28.P31
P4.P20 // P22.P28
P4.P30 // P6.P11
P5.P11 // P13.P20
P5.P16 // P20.P21
P5.P24 // P13.P32
P5.P33 // P22.P32
P10.P14 // P11.P33 // P20.P24
P10.P24 // P14.P26
P10.P27 // P16.P20