[函数] 三次函数与正方形

敬畏数学

有且仅有一个正方形中心在原点，四个顶点在$y=x^3+ax $上，则a的值为

战巡

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首先，这个正方形不可能有两个顶点同时在$y$轴上，不存在这样的三次函数。

而如果令这个正方形位于$y$轴右边的两个顶点为$(x_1,y_1), (x_2,y_2), x_1, x_2>0$，那么会有
\[\begin{cases}\frac{y_1}{x_1}\cdot\frac{y_2}{x_2}=-1 \\ x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2\end{cases}\]
化简第一个，会有
\[(x_1^3+ax_1)(x_2^3+ax_2)=-x_1x_2\]
\[(x_1x_2)^3+ax_1x_2(x_1^2+x_2^2)+a^2x_1x_2=-x_1x_2\]
对于三次函数我们可以肯定$x_1,x_2\ne 0$，因此
\[(x_1x_2)^2+a(x_1^2+x_2^2)+a^2+1=0\]
化简第二个会有
\[(y_1-y_2)(y_1+y_2)=-(x_1-x_2)(x_1+x_2)\]
\[(x_1^3-x_2^3+a(x_1-x_2))(x_1^3+x_2^3+a(x_1+x_2))=-(x_1-x_2)(x_1+x_2)\]
\[(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+a)(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2+a)=-(x_1-x_2)(x_1+x_2)\]
这里显然$x_1-x_2\ne 0$，否则两个顶点就重合了，然后由于$x_1,x_2>0$，也会有$x_1+x_2\ne 0$，直接消掉就完事了，有
\[(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+a)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2+a)=-1\]
\[(x_1^2+x_2^2+a)^2-(x_1x_2)^2=-1\]
然后如果令$x_1^2+x_2^2=p, x_1x_2=q$，会有
\[\begin{cases} q^2+ap+a^2+1=0\\(p+a)^2-q^2=-1\end{cases}\]
\[(p+a)^2+ap+a^2+1=-1\]
\[p=\frac{1}{2}(-3a\pm\sqrt{a^2-8})\]
既然有且仅有一个正方形，那么$x_1^2+x_2^2=p$也只能有一个，因此$a^2=8$，$a=-2\sqrt{2}$

敬畏数学

回复 2# 战巡 看来此题只能这么玩。计算量不小。谢谢高手。

敬畏数学

正方形四顶点在$y=x^3-\dfrac{9}{2}x+1  $上，则正方形的面积为————————。很快有某地作为考题来了！我还是不会做。。。。计算量超大！！！

lemondian

请问：在一般的三次函数的情形下，面积如何求得？