[几何] 固定形状的内接三角形的一些最值

hbghlyj

给定两个三角形$DEF$与$\Gamma$,点D,E,F分别在直线BC,CA,AB上,$\triangle ABC\sim\Gamma$,$\frac{\S{DEF}}{R_{DEF}}$的取值范围
设$\angle AEF=x+60°+\frac{C-A+F-E}3,\angle AFE=60°-x+\frac{B-A+E-F}3$,$2(\S{AEF}+\S{BDF}+\S{CDE})=\sum\frac{EF\sin\left(x+60°+\frac{C-A+F-E}3\right)\sin\left(60°-x+\frac{B-A+E-F}3\right)}{\sin A}=\sum\frac{EF\left(\cos\left(2x+\frac{C-B+2F-2E}3\right)+\cos A\right)}{\sin A}$,设$f(x)=\sum\frac{\sin D}{\sin A}\cos\left(2x+\frac{C-B+2F-2E}3\right)$,令$f'(x)=0$,$\tan 2x=-\frac{\sum\frac{\sin D}{\sin A}\sin\left(\frac{C-B+2F-2E}3\right)}{\sum\frac{\sin D}{\sin A}\cos\left(\frac{C-B+2F-2E}3\right)}$时最小

hbghlyj

请问多边形怎么弄？@kuing

hbghlyj

另一个问题，给定两个三角形DEF与Γ,点A,B,C分别在直线EF,DF,DE上,△ABC∼Γ,相似比为k,求k的取值范围.
给定两个三角形DEF与Γ,点D,E,F分别在直线BC,CA,AB上,△ABC∼Γ,相似比为k,求k的取值范围.

hbghlyj

回复 3# hbghlyj $\odot$DBC,ECA,FAB共点O，O是定点。DEF分别在$\odot$OBC,OCA,OAB上运动，两三角形正交时，OD,OE,OF能同时取到直径所以最大。多边形也一样

hbghlyj

多边形情况下，∠AEF能不能像1#那样轮换地表示出来