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[几何] 平面向量“奔驰定理”的能否空间推广

本帖最后由 lemondian 于 2020-2-16 13:56 编辑

请教大家:平面向量的“奔驰定理”能否推广到四面体中?
21602.jpg
2020-2-16 13:56

找了一下,没找到相应的资料。那位大咖,能帮忙看看能否证一下
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不喜欢叫它“奔驰定理”:
首先奔驰的logo有个外接圆,但这定理不涉及圆,其次也不想帮奔驰卖广告……
还不如叫“内裤定理”

说回正题,先由平面上撸起:\(\newcommand\vm[1]{\begin{vmatrix}#1\end{vmatrix}}\)

平面上有任意的四点 `P`, `A`, `B`, `C`(不必相异),令 $\vv{PA}=(a_1,a_2)$, $\vv{PB}=(b_1,b_2)$, $\vv{PC}=(c_1,c_2)$,规定有向面积:
\[
\overline{\S{PBC}}=\frac12\vm{b_1&b_2\\c_1&c_2},\,
\overline{\S{PCA}}=\frac12\vm{c_1&c_2\\a_1&a_2},\,
\overline{\S{PAB}}=\frac12\vm{a_1&a_2\\b_1&b_2},
\]则
\begin{align*}
&2\overline{\S{PBC}}\cdot\vv{PA}+2\overline{\S{PCA}}\cdot\vv{PB}+2\overline{\S{PAB}}\cdot\vv{PC}\\
={}&\left(
\vm{b_1&b_2\\c_1&c_2}a_1+\vm{c_1&c_2\\a_1&a_2}b_1+\vm{a_1&a_2\\b_1&b_2}c_1,
\vm{b_1&b_2\\c_1&c_2}a_2+\vm{c_1&c_2\\a_1&a_2}b_2+\vm{a_1&a_2\\b_1&b_2}c_2
\right)\\
={}&\left(
\vm{a_1&a_1&a_2\\b_1&b_1&b_2\\c_1&c_1&c_2},
\vm{a_2&a_1&a_2\\b_2&b_1&b_2\\c_2&c_1&c_2}
\right)\\
={}&(0,0),
\end{align*}即
\[
\overline{\S{PBC}}\cdot\vv{PA}+\overline{\S{PCA}}\cdot\vv{PB}+\overline{\S{PAB}}\cdot\vv{PC}=\bm0,
\]这就是平面上的一般结论。

特别地,当 `P` 位于 `\triangle ABC` 内部时 $\overline{\S{PBC}}:\overline{\S{PCA}}:\overline{\S{PAB}}=\S{PBC}:\S{PCA}:\S{PAB}$,此时上式可以「约掉上面的横线」。


再撸空间中的,方法照搬,但细节有点点不同:

空间中有任意的五点 `P`, `A`, `B`, `C`, `D`(不必相异),令 $\vv{PA}=(a_1,a_2,a_3)$, $\vv{PB}=(b_1,b_2,b_3)$, $\vv{PC}=(c_1,c_2,c_3)$, $\vv{PD}=(d_1,d_2,d_3)$,规定有向体积:
\[
\overline{V_{P\text-XYZ}}=\frac16\vv{PX}\cdot\bigl(\vv{PY}\times\vv{PZ}\bigr),
\]它的绝对值等于 `V_{P\text-XYZ}`,而正负则取决于 $\vv{PX}$, $\vv{PY}$, $\vv{PZ}$ 是构成右手系还是左手系。

写成行列式,就是
\[
\overline{V_{P\text-BCD}}=\frac16\vm{b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3},\,
\overline{V_{P\text-ACD}}=\frac16\vm{a_1&a_2&a_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3},\,
\overline{V_{P\text-ABD}}=\frac16\vm{a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\d_1&d_2&d_3},\,
\overline{V_{P\text-ABC}}=\frac16\vm{a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3},
\]则
\begin{align*}
&6\overline{V_{P\text-BCD}}\cdot\vv{PA}
-6\overline{V_{P\text-ACD}}\cdot\vv{PB}
+6\overline{V_{P\text-ABD}}\cdot\vv{PC}
-6\overline{V_{P\text-ABC}}\cdot\vv{PD}\\
={}&\left(
\vm{b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3}a_1
-\vm{a_1&a_2&a_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3}b_1
+\vm{a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\d_1&d_2&d_3}c_1
-\vm{a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3}d_1
,\right.\\
&\left.
\vm{b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3}a_2
-\vm{a_1&a_2&a_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3}b_2
+\vm{a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\d_1&d_2&d_3}c_2
-\vm{a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3}d_2
,\right.\\
&\left.
\vm{b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3}a_3
-\vm{a_1&a_2&a_3\\c_1&c_2&c_3\\d_1&d_2&d_3}b_3
+\vm{a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\d_1&d_2&d_3}c_3
-\vm{a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3}d_3
\right)\\
={}&\left(
\vm{a_1&a_1&a_2&a_3\\b_1&b_1&b_2&b_3\\c_1&c_1&c_2&c_3\\d_1&d_1&d_2&d_3},
\vm{a_2&a_1&a_2&a_3\\b_2&b_1&b_2&b_3\\c_2&c_1&c_2&c_3\\d_2&d_1&d_2&d_3},
\vm{a_3&a_1&a_2&a_3\\b_3&b_1&b_2&b_3\\c_3&c_1&c_2&c_3\\d_3&d_1&d_2&d_3}
\right)\\
={}&(0,0,0),
\end{align*}即
\[
\overline{V_{P\text-BCD}}\cdot\vv{PA}
-\overline{V_{P\text-ACD}}\cdot\vv{PB}
+\overline{V_{P\text-ABD}}\cdot\vv{PC}
-\overline{V_{P\text-ABC}}\cdot\vv{PD}=\bm0.
\]
特别地,当 `P` 位于四面体 `ABCD` 内部时,有
\[\overline{V_{P\text-BCD}}:\overline{V_{P\text-ACD}}:\overline{V_{P\text-ABD}}:\overline{V_{P\text-ABC}} = V_{P\text-BCD}:-V_{P\text-ACD}:V_{P\text-ABD}:-V_{P\text-ABC},\]即此时\[
V_{P\text-BCD}\cdot\vv{PA}
+V_{P\text-ACD}\cdot\vv{PB}
+V_{P\text-ABD}\cdot\vv{PC}
+V_{P\text-ABC}\cdot\vv{PD}=\bm0.
\]

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回复 1# lemondian
酷哥正!这个梅向明教授的书上有,是什么书,宅家就翻不到了。

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回复 3# 力工
谢谢kuing,还没完全看懂,正在消化
网上兰琦老师说,这个定理“对n维空间同样适用,且有统一证法”,不知是不是?没找到所谓的统一证法。

另:这阵子论坛老卡,好慢呀

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回复 4# lemondian

其实由 2# 的过程已经可以想象 n 维的结论是怎样,问题是,我不清楚 n 维空间中的体积神马的定义是什么(或许已经不再用“体积”这词了),所以就不扯下去了……

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一组恒等式有什么关联?有没有更多的?前两个是熟知的,第三,四个是用的轮换求和代码探索出来的。其中字母 ...
hbghlyj 发表于 2020-2-10 16:24

回复 2# kuing
顺便看看这贴如何推广呗

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