平方即
\[\sum\frac a{b+c}+2\sum\sqrt{\frac{bc}{(c+a)(a+b)}}\geqslant4+\frac{3abc(a+b+c)}{2(ab+bc+ca)^2},\]由 CS 有
\[\sum\frac a{b+c}\geqslant\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)},\]由 AG 有
\[\sum\sqrt{\frac{bc}{(c+a)(a+b)}}=\sum\frac{bc}{\sqrt{(bc+ab)(ca+bc)}}\geqslant\sum\frac{2bc}{ab+2bc+ca},\]所以只需证
\[\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}+\sum\frac{4bc}{ab+2bc+ca}\geqslant4+\frac{3abc(a+b+c)}{2(ab+bc+ca)^2},\] 换元 `x=bc`, `y=ca`, `z=ab`,上式化为
\[\frac{(xy+yz+zx)^2}{2xyz(x+y+z)}+\sum\frac{4x}{2x+y+z}\geqslant4+\frac{3(xy+yz+zx)}{2(x+y+z)^2},\]接下来可以用 pqr 法 Baoli 解决,过程由于时间关系懒得写…… |