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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 一向量三角形求角
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发表于 2020-2-10 22:16
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只看该作者
[几何]
一向量三角形求角
我好累,用了坐标算。
内接于圆$O$的$\triangle ABC$的内心为$I$,若角$B=\frac{π}{4}$,且$\bm{OI}\px \bm{BC}$,求$cosC$的值.
求大神高人高明的指导
2020-2-10 22:16
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色k
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发表于 2020-2-10 22:34
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由平行知 r=RcosA,又熟知 cosA+cosB+cosC=1+r/R,故 cosB+cosC=1。
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hbghlyj
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发表于 2020-2-11 00:29
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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-2-11 07:28 编辑
我来介绍一个点
I关于BC中点对称到I',外接圆的不含A的弧BC的中点为D,则I'D这种直线共有3条,它们共点于外接圆上一点P,且PA=PB+PC(如果P在弧BC上)
2020-2-11 00:29
如果OI∥BC,那么P就是A的对径点,因为PA=PB+PC,所以cosB+cosC=1。
2020-2-10 23:59
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发表于 2020-2-11 18:49
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色k
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hbghlyj
厉害了,玩得好溜!强@色k,@hbghlyj
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发表于 2020-2-18 02:57
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本帖最后由 乌贼 于 2020-2-18 10:12 编辑
如图:
2020-2-18 02:57
$ ACDE $为正方形,易证\[ \angle BIE=45\du \]延长$ CI $交园于$ F $,连接$ DF $交$ BI $于$ M $,有\[ \angle MIE=\angle MFE=45\du \]即$ IMEF $四点共园,得$ \triangle IME $为等腰直角三角形,又$ \triangle CDE $也为等腰直角三角形,故\[ \angle DEM=\angle CEI \]作$ BN\perp DF $交$ AD $于$ N $,有\[ DB=DN\\ BF=FN \]又\[ FN=FB=FI=FA \],因此$ AINB $四点共园且圆心为$ F $得\[ \angle BIN=\angle BAN=\angle 1 \]及\[ \angle NFI=2\angle NBI=\angle NMI \]所以$ INMEF $五点共园,有\[ \angle NEM=\angle NIM=\angle 1\riff\angle DEN=\angle BEM=22.5\du \riff \angle AEN=\angle ANE=67.5\du \riff AN=AE \]令$ AC=1 $,有\[ \cos C=\cos D=\dfrac{BD }{AD}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]
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