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[数论] $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$是无理数怎么证明?

已知正有理数a,b,c,且$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$是无理数,求证
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$是无理数.
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不太懂数论,只会笨方法——移项平方,不过就这一招随便推一通,居然推出来了……

假设 `\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c` 是有理数,设其为 `p`,则 `\sqrt a+\sqrt b=p-\sqrt c`, `a+b+2\sqrt{ab}=p^2+c-2p\sqrt c`, `2\sqrt{ab}+2p\sqrt c=p^2+c-a-b`, `4ab+4p^2c+8p\sqrt{abc}=(p^2+c-a-b)^2`,可见 `\sqrt{abc}` 是有理数。

另一方面,直接对 `\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c` 两边平方知 `\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}` 是有理数,设其为 `q`,则 `\sqrt{ab}+\sqrt{bc}=q-\sqrt{ca}`, `ab+bc+2b\sqrt{ca}=q^2+ca-2q\sqrt{ca}`,可见 `\sqrt{ca}` 是有理数。

结合以上两点,得到 `\sqrt b` 为有理数,矛盾!
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证明或否定(记得好象哪里看到过,还有n个的)
已知正有理数a,b,c,d且$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c},\sqrt{d}$是无理数,
则$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$是无理数.

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回复 3# realnumber

4 元还是可以的,来来去去那一招,但是已经比较麻烦,而且纯粹乱撞,要解决 n 元,得总结出一个有规律的操作方法才行,或另想其他办法……

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用 `C_i` 表示有理系数,写起来就好看些。

假设 `\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c+\sqrt d=p` 为有理数
移项 `\sqrt a+\sqrt b=p-\sqrt c-\sqrt d`
平方 `\sqrt {ab}+C_1=C_2\sqrt c+C_3\sqrt d+C_4\sqrt {cd}`
移项 `\sqrt {ab}+C_4\sqrt {cd}+C_1=C_2\sqrt c+C_3\sqrt d`
平方 `\sqrt {abcd}+C_1\sqrt {ab}=C_2+C_3\sqrt {cd}`
再平方得 `\sqrt{cd}` 有理,从而任意两个的几何平均都有理
于是对 `\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c=p-\sqrt d` 平方得 `\sqrt d` 有理,矛盾

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