[数列] 交错数列取遍正整数

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假设$A={a_n}={a_1,a_2,\cdots ,a_n}$是正整数递增序列。如果$c$是$A$的一个有限子序 列的交错和，则称$c$为$A$可表达的。为了形成这样一个和，可以从$A$序列中选择一个 有限子集，按递增顺序(不允许重复)列出这些数字，并将它们与正负号交替组合。 我们允许一个元素子序列的情况，这样每个$a_n$都是可表示的。
定义:序列$A ={a_n}$是“交换基础的”，如果每个正整数都是唯一可表示的。也就 是说，对于每一个整数$m >0$，只有一种方法可以将$m$表示为$a$的有限子序列的交错和。
例子:序列$B ={2^{n-1}}= {1, 2, 4, 8, 16,...}$不是“交换基础的“，因为有些数可以用 多种方式表示。例如3 = - 1 + 4 = 1 - 2 + 4。
序列$C = {3^{n-1}}={1,3,9,27,81，...}$不是“交换基础的”，因为有些数字(如4和5)不 能用$C$表示。
(a)设$D = {2^n-1}={1,3,7,15,31，...}$
已知:1 = 1,2 =−1 + 3,3 = 3,4 =−3 + 7,5 = 1−3 + 7,6 =−1 + 7,7 = 7,8 =−7 + 15,9 = 1−7 + 15,......
证明$D$是“交换基础的”
(b)假如$E ={2,3，...}$可以是“交换基础的”吗?
也就是说，你可以用$e_1= 2$和$e_2 = 3$构造一个“交换基础的”$E = {e_n}$吗?
(c)某些$F ={1,4，...}$可以是“交换基础的”吗? 证明你的答案。
(d)举一些其他例子，是否有一些相当简单的测试来判断给定序列$A ={a_n}$是否是 “交换基础的”?

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求大佬帮忙看看，我的想法是从二进制出发，但最后一问感觉就只有$2^n-1$