本帖最后由 hbghlyj 于 2020-1-30 01:30 编辑
设两圆第二个交点为E,这就相当于顺相似三角形ABE,CDE的外心连线与AB+CD的比值$\geq\frac14$
将$\triangle$CDE以E为中心旋转,由于有两个转向,不妨设C落在AB延长线上时PQ最小,如果这旋转过程中某一时刻使BCD共线,就交换$\triangle$ABE,CDE的地位,总之,能达到这个相对位置而使旋转过程中四边形ABCD总是凸的.
C在AB延长线上运动时,$\triangle PEQ\sim\triangle AEC,\angle EPQ=\angle CAE$,可见Q在过P的直线上运动,设线段PQ与$\odot P,\odot Q$交于G,H,则$2PQ\ge PG+HQ=PE+EQ$,所以$2PQ\ge PE+EQ$,又$PE\ge \frac{AB}2$,所以$\frac{PQ}{AB+CD}=\frac{PE}{AB}\frac{PQ}{PE+EQ}\ge\frac14$
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