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[几何] 一些平面几何

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-20 23:58 编辑

1.ABCD是一个圆内接四边形,M是CD中点,点N满足AMBN是调和四边形,E是直线AC,BD的交点,F是直线AD,BC交点,证明EFN共线
2.∆ABC的外接圆与A-旁切圆的两条外公切线交BC于X,Y,证明∠BAX=∠CAY
3.${P_B},{P_C},{M_B},{M_C}$为$\triangle$ABC对应边上的高线足和中点,${{\rm{M}}_{\rm{B}}}{M_C},{{\rm{P}}_{\rm{B}}}{P_C}$交于${{\rm{S}}_{\rm{A}}}$,A-外类似中线交BC于${{\rm{T}}_{\rm{A}}}$,证明:AV$ \bot {{\rm{S}}_{\rm{A}}}{T_A}$(V是九点圆圆心)
4.在凸四边形ABCD中,AC,BD交于P,延长BA,CD交于E,延长DA,CB交于F,圆$ω_1$过D且与AC切于P,与AD再次交于X,圆$ω_2$过C且与BD切于P,与BC再次交于Y.设$\omega_1,\omega_2$再次交于Q,证明:P与∆XQY的外心的连线⊥EF.
5.过A任作圆ω交AC,AB于E,F,圆ω'是ω关于$\angle$BAC平分线的对称象,ω交外接圆于T,求证:ω'与AT相切

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2020-1-17 22:05

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2020-1-21 12:41

剩下一些没整理的先留下
未命名1.gsp (57.77 KB)

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-1-21 13:53 编辑

6.点D、E、F分别在△ABC的三边BC、CA、AB上,AD、BE、CF交于同一点G, EF、AD相交于H.以DH
为直径作圆交直线BE于S、T两点,求证: |AS - AT|= DH|cos∠BGD| .
法①AHGD调和,Stewart
法②AHGD调和,圆I是AG的阿氏圆,$\triangle ITG\sim\triangle IAT≌\triangle IAJ\sim\triangle IGS$.ASTI共圆
7.见图
8.设P是凸四边形ABCD的对角线交点,若PAB,PBC,PCD,PDA四个三角形内切圆半径相等,求证ABCD是菱形
9.见图
10.见图

6

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2020-1-20 21:40

6'

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2020-1-20 21:48

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2020-1-20 22:22

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2020-1-21 13:52

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-1-21 12:49 编辑

回复 1# hbghlyj
将第5题推广到了一般情形,替换了原题。原来这是一道简单题。
△TFE'∽△TBC',$\angle EAF=\angle ETF,AF'\bullet TE=BF\bullet TE=CE\bullet TF=AE'\bullet TF$,△TEF∽△AE'F',$\angle TAF=\angle TEF=\angle AE'F'$,所以AT是$\omega'$的切线

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-9-13 00:44 编辑

11.在△ABC中,ω是内切圆,点$O_1$是$A_2A_3$中点,过点A且垂直于BC的直线与过点M且垂直于AI的直线交于K.证明:以AK为直径的圆与圆ω相切,切点在$AX_8$上.($X_1$是内心,$X_8$是奈格尔点)
证明:(by qzc)设$I_1$为$A_2A_3$上切点,$I_1'$为对径点,$A_1I_1$交$\odot X_1$于T,熟知$O_1T$为$\odot X_1$切线,延长$O_1X_1$交$A_1K$于点U,熟知$O_1X_1$平分$A_1I_1$,又$A_1U\parallel X_1l_1$,故$A_1X_1\parallel Ul_1$,所以$UI_1⊥O_1K$,所以$I_1$是$UO_1K$垂心,$KI_1⊥UO_1$,故$KI_1T$共线,所以T是$\triangle I_1'SI_1$和$\triangle A_1LK$的位似中心,它在$\odot X_1$上,故两圆相切
12.设I、H分别是△ABC的内心和垂心,直线$l_a$过BC的中点且垂直于AI .类似地定义直线$l_b,l_c$,求证:直线$l_a,l_b,l_c$构成的三角形的外心是IH的中点.
13.在△ABC中,AN,IC,BW是角平分线,Q,R,S分别为其中点,以AB,AC,BC分别作圆c[1],c[2],c[3],连接BQ,QC,AR,RB,AS,SC分别交c[2],c[1],c[3],c[2],c[3],c[1]于K,M,H,Y,G,Z,六点在BC,AB,AC上的射影分别为J,O,U,T,V,X连接KO,MJ交于F,连接TH ,UY交于D,连接VZ,XG交于E。求证:△ABC的欧拉线与△FED的夹角恒不大于30度。
14.P为完全四边形ABCDEF的密克点,D为对角线AD,BF的交点,PG交$\odot$AFC于H,AHFI是平行四边形 ,求证:$\angle$CIF=$\angle$CDE
15.见图

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2020-1-22 00:47

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2020-1-23 15:25

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2020-1-27 21:37

当三圆存在一条公切线时,证明:与其中两个圆外切,另一个圆内切的圆经过三圆根心.特别地,若这三个圆是一个三角形的旁切圆,则该虚线圆经过原三角形的Sp.
关于根心反演就行了
AB是圆O直径,PA是切线,PCD是割线,BC,BD交PO于E,F,求证:OE=OF
QQ图片20200123152407.gif
2020-8-1 20:22

证明:过A作AH⊥OE,ACEH共圆,∠AEC=∠AHC,$PC·PD=PA^2=PH·PO$,CHOD共圆,∠CHD=∠COD,∠PHC=∠ODC=∠OCD=∠OHD,∠CHA=∠DHA,∠AEC=∠CHA=∠CHD/2=∠COD/2=∠DBE,AE∥BF.又OA=OB,∴AEBF为平行四边形,∴OE=OF
△ABC内接于圆O,H为垂心,AH分别交BC于D,交圆O于E,P在圆O上,∠DPE=90°,Q在圆O上,∠HPQ=90°,M是BC的中点.求证PDMQ共圆
G是重心,取E对径点X,导角得A,X关于BC中垂线对称,∵AX∥MD,AG=2GM,AX=2MD,∴DGX共线.延长PH交圆于Y,∵∠HPQ=90°,∴QOY共线.设AQ,PX交点为G’,由帕斯卡定理有G’OH共线.即G’是OH和AQ的交点,G'=G.故DGXP共线.故AMQ共线,PQ和MD关于∠MGD逆平行.
取XGD与圆O的交点P'.下面证明P'HY共线
∵∠AMD=∠B+∠BAQ=∠XCB+∠BAQ=∠XCB+∠BCQ=∠BP'Q.∠OMA=∠QAE=∠XP'Y,
∠XP'Y+∠BP'Q=∠OMA+∠AMD=90°,∴YHP'共线
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2020-8-3 22:29

19.A,B,C,D在圆O上,B,C处的切线交于L,求证:∠AOD=∠AMD+∠ALD
证明:$OM\cdot OL=OA^2\Rightarrow\angle MLA=\angle OAM$,同理$\angle MLD=\angle ODM,\angle AMD+\angle ALD=\angle MAL+\angle ALD+\angle LDM+\angle OAM+\angle ODM=\angle DOA$
360截图20150723001922687.jpg
2020-9-13 00:41

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-23 00:03 编辑

16.△ABC中,AH, CD为两条高. P在BC上, Q, R在AB, AC上且PQ=PD, PR=PC.求证:ARHQ四点共圆
17.$\triangle$ABC中,AC=BC,$\angle$BAC=70°,D在AC上,AB=BD,E在边BC上,BE=CD,求证:$\angle$BDE=50°
证明:作△CDB外心O,则有∠DOB=2∠C=80°,而∠COD=2∠CBD=60°,故△COD是等边三角形,故BE=CD=OC=OB,又2∠EBO=∠DBO-∠DBC=50°-30°=20°,故∠BOE=80°=∠BOD,也即DEO共线,于是∠BDE=∠BDO=50°
18.见图
20.2011ImoShortlistG6
$\triangle$ABC,AB=AC,D是AC的中点,∠BAC平分线与$\odot$DBC相交于$\triangle$ABC内的点E,直线BD交$\odot$AEB于B,F,直线AF,BE交于I,直线CI,BD交于K,证明I是$\triangle$KAB的内心。
证明:取AB,BC中点H,J,由对称性HE=ED,BI平分$\angle$ABD,$\angle FAE=\angle FBE=\angle ABE,\angle AFD=180°-\angle AFB=180°-\angle AEB=\angle BAJ+\angle ABE=\angle CAJ+\angle FAE=\angle FAC,$AD=DF,$\triangle$ABD$\sim\triangle$KAD,AI平分$\angle BAK$,I是$\triangle$KAB的内心。

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2020-1-28 01:04

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2020-1-28 01:13

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2020-1-28 01:17

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2020-1-30 21:53

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2020-1-30 23:33

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-18 12:29 编辑

21.定义映射平面上四点O,A,B,C到一点的映射f如下:以A,B,C为圆心过O作圆,圆B,C;C,A;A,B交于P,Q,R,易证$\odot$BCP,CAQ,ABR共点,记为f(O,A,B,C).对于平面上五点A,B,C,D,O,
证明:ABCD共圆$\Leftrightarrow$f(O,A,B,C),f(O,B,C,D),f(O,C,D,A),f(O,D,A,B)共圆
22.
2001302212edfae009cf907bc3.jpg
2020-5-18 12:29
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2020-4-24 13:09

23.
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2020-2-3 17:02
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2020-2-4 23:17

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2020-5-18 12:27

推广:
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2020-5-18 12:27

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-23 00:18 编辑

26.设P,Q是一对等角共轭点,垂心为H,过H作AP的垂线交BC于T,P关于BC的对称点为P',求证:P'H$\bot$QT
27.28.29.30.见图

26

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2020-2-9 11:52

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2020-3-14 00:20

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2020-3-14 23:20

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平面几何2020.3.14.jpg
2020-3-14 23:21

△ABC中,内切圆为$\odot$l,内切圆在各边上的切点与对顶点的连线三线共点于R,$\omega_a,\omega_b,\omega_c$分别是过B、C且与$\odot$I相切的圆,过C、A且与$\odot$I相切的圆,过A、B且与$\odot$I相切的圆,点U、V、Y、Z、W、X分别是$\omega_a$与AB、$\omega_a$与AC、$\omega_b$与BC、$\omega_b$与BA、$\omega_c$与CA、$\omega_c$与CB的交点(均不同于点A、B、C)设点L、M、N分别是直线UV、YZ、WX关于$\odot$I的极点.证明:AL、BM、CN、IR四线共点.

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31.$\odot O$是△ABC外接圆,D是AB上一点,G是AD中点,H是DB中点,EG⊥AB交AC于E,FH⊥ AB交BC于F,DN⊥EF交EF于M,交$\odot O$于N,求证: NM=MD

31

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2020-3-16 00:02
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回复 8# hbghlyj
没证出来,但发现一些有趣……
如图:
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2020-3-17 02:32

    $ \triangle ABC $,$ D $为$ AB $上一点,$ AD $的垂直平分线交$ AC $于$ E $,$ DB $的垂直平分线交$ BC $于$ F $,$ G、H、P、Q $分别为$ AD、DB、AC、BC $的中点,$ O $为$ \triangle ABC $外接圆圆心,$ K $为$ EF $与$ PQ $的交点。则有:(1)$ OK\perp EF $且$ EOFC $四点共园(2)$ DE\px HK $

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本帖最后由 乌贼 于 2020-3-17 13:28 编辑

如图:
212.png
2020-3-17 13:26

延长$ ND $交外接圆于$ Q $,取$ DQ $中点$ P $。连接$ AN 、BN、ED、GM、MH、DF、GP、PH $,有\[ \angle GMH=\angle GED+\angle DFH=\angle AEG+\angle BFH=\angle ACB=\angle ANB \]又\[ \angle GPH=\angle AQB\riff\angle GMH+\angle GPH=\angle ANB+\angle AQB=180\du  \]即$ GMHP $四点共园,故\[ \angle GMP=\angle GHP=\angle ABQ=\angle ANQ\\\riff AN\px GM\\\riff DM=MN \]复 8# hbghlyj

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-4-11 10:26 编辑

收集到的一些小问题,没时间研究,先堆在这里吧
32.矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC边上一动点,C与C'关于AE对称,在AE上取F,使$\angle ABF=\angle C'BC$,则BE+AF的最小值为
几何2020.3.31.jpg
2020-4-2 22:32

33.$\triangle$ABC中,O是外心,H是垂心,点P和Q满足$\angle PAC=\angle QBC$,作Q关于BC的对称点Q',求$PQ'^2-HP^2$的最小值
几何2020.3.31.2.png
2020-4-2 22:32

34.E,F为圆内接四边形ABCD边BC,AD中点,AC,BD交于O,AB,CD交于P,求证:PQ是$\odot QEF$的切线
35.平面上任意P关于$\triangle ABC$的Ceva三角形为DEF,点X关于DEF的等角共轭为Y,$\Gamma$为过ABCP的等轴双曲线,则X关于$\Gamma$的极线过Y.
几何2020.3.31.jpg
2020-4-2 22:39

我们立足于DEF来看,容易看出DEF的四等心均要在这锥线上,于是就转化为了如下命题:三角形ABC的一对等角共轭点P,P*,L是过II1I2I3的一条锥线,证明P关于L的极线过P*,也即要证明PP*被L调和分割,但由A(II2, PP*) =-1,容易看出II1I2I3的任一组对边调和分割PP*,由笛沙格对合定理,其外接锥线也调和分割PP*
36.已知△ABC,△PAB和△QAC是△ABC外面的两个三角形,满足AP=AB, AQ=AC及∠BAP=∠CAQ,线段BQ与CP交于点R.设△BCR的外接圆圆心为O.证明: AO⊥PO.
pic.jpg
2020-4-2 22:42

37.在$\triangle ABC$中,AC=2,BC=4,作等边$\triangle ABD$,则AB+2CD的最小值为
38.△ABC内点D,∠ABD=∠ACD,DE⊥AB,DF⊥AC,点M是BC的中点,P是EF上任意一点,MF与BP交于Q.证明: DP⊥AQ.
几何2020.3.31.jpg
2020-4-2 22:51
几何2020.3.31.jpg
2020-4-2 22:57

对合.png
2020-4-3 13:15

39.设O和I分别为△ABC的外心和内心,△ABC的内切圆与边BC,CA, AB分别相切于点D, E,F,直线FD,CA相交于点P,直线ED, AB相交于点Q,点M,N分别为线段PE,QF的中点,求证: OI⊥MN.
几何2020.3.31.jpg
2020-4-2 22:54
根轴
40.已知一条圆锥曲线上的五个点或者更多点,求任意一条直线和这条圆锥曲线的交点(如果存在)
要分清楚两个概念
纽堡曲线上一点可以尺规
纽堡曲线不能尺规
41.
几何2020.3.31.jpg
2020-4-2 22:59

42.设A,B,C为抛物线$\Gamma$上三点,满足△ABC的垂心H与$\Gamma$的焦点重合.证明:无论怎样改变A, B, C在$\Gamma$上的位置,只要△ABC垂心H的位置保持不变,则△ABC的内切圆半径也保持不变.
只需证明H在三角形ABC的内切圆上,再计算HI即可
以H为中心,$-2HA\cdot HH_a$为幂的反演$\psi$将圆(A,AH),(B,BH),(C,CH)分别映射到BC,CA,AB.所以,$l$反演到三角形ABC的内切圆$\omega$,所以,H在$\omega$上(**保外接圆)
剩下余弦定理计算
$HI=\sqrt{2r^2-4R^2\cos A\cos B\cos C}$
43.在锐角△ABC中,AB>AC, M是边BC的中点,P是△AMC内一点,使得∠MAB=∠PAC.设△ABC,ABP,ACP的外心分别是$O,O_1,O_2$.证明:直线AO平分线段$O_1O_2$.(陪位中线 2010年CTST)
44.
几何2020.3.31.2.jpg
2020-4-2 23:16

45.
几何2020.3.31.3.jpg
2020-4-2 23:16

46.
几何2020.3.31.jpg
2020-4-2 23:16

47.已知P是△ABC中BA延长线上一点, 且PA=AC,直线PC再次交△ABC的外接圆于D, E 是BC中点,点F满足FA//DE、FD//AE。求证: PF⊥BC。
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2020-4-11 10:24

取弧AC中点证BGD',B'ED中心对称即得(点以我上图为准)
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2020-4-11 10:25

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-7-31 22:06 编辑

48.
几何20200413.jpg
2020-4-13 10:34

$\triangle ABC$中,点E在AB上,角平分线CD的中垂线GF交$\odot CBE,CAD$于F,G,求证DEFG共圆
证明更一般的情况∠XAY=∠XDY,O是ADE外心,XY过点O
几何20200413.png
2020-4-13 10:38

几何20200413.png
2020-4-13 10:40

49.在凸四边形ABCD中,AB=CD,角A,B的平分线交于点K,角C,D的平分线交于点L,已知AD, BC不平行,且K≠L.证明:三条线段AD, BC, KL的垂直平分线交于一点.
几何20200413.png
2020-4-13 10:45

几何20200413.jpg
2020-4-13 11:01

补一个旋转,证一个外心即得
50.$\odot$(ABC)上取一点L,R,L关于BC对称,D为R的等角共轭(已证明DA=DL),取点Z使△DZA与△DAC顺相似,W为Z的等角共轭,证明: WARL共圆。
几何20200416.png
2020-4-16 12:19

作A关于BC的对称点A',就有WBA'共线,W在一定直线上
BA平分ZBC,设出BA'和ARC的第二交点,证这就是Z的等角共轭点即可
用等角共轭中的有向角BXC+BX*C=BAC,在C侧对Z和W用一遍,再在B侧对D和R用一遍
第一次用下来会化归为证明180+ADC-ARA'=2ABC第二次用下来就变成ALC和ABC相等了
51.
对合.jpg
2020-4-16 23:04

△ABC垂心为H.在其外接圆上取异于A,B,C的一点P,设M为HP中点.在直线BC,CA,AB上分别取点D,E,F,使得AP∥HD,BP∥HE,CP∥HF.证明:DEFM共线.
几何.png
2020-4-16 23:06
题目本身证明就这一张图就够了,我后来想证的是OM和DEF的垂直
53.正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连,L是EH中点,求证LB⊥GK
法①设AE=a,AG=a',AD=c,AB=c',CH=b,CK=b'
有 aa'=bb'=cc'=0, a²=a'², b²=b'² ,c²=c'²,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'﹙*﹚
FH=-a+c+c'+b,$LB=\frac{FH}2-b-c=\frac{-a-c+c'-b}2$,GK=-a'+c'+c+b'
从﹙*﹚:(-a-c+c'-b)(-a'+c'+c+b')=……=0. ∴LB⊥GK
法②用全等的倍长中线做。连接EB,GD,DK,BH.延长BL至J使BL=LG,连接JH。ΔEAB≌ΔEAD,ΔBCH≌ΔDCK(SAS),ΔELB≌ΔHLJ。所以EB=GD,DK=BH. 然后证明ΔJHB≌ΔGDK,最后倒个角就出来了。PS:此题还可证出LB=1/2GK

54.G是中点,求证GJ=GE
视E,F为点圆用调和证明G在E,F和圆(ABCD)的根轴上。过F作两条切线,取出中点就行
QQ图片20200422154002.jpg
2020-4-22 15:41

55.证明任何圆外切多边形具有可以形成三角形的三个边
证明:设最长边是BC,与之相邻的边是AB和CD,下面证明AB,BC,CD形成三角形.
设AB,BC,CD上的切点是X,Y,Z,则BC=BY+YC=BX+YD<AB+CD,又因为BC是最长边,所以AB,BC,CD形成三角形.
IMG_20200723_175926.jpg
2020-7-31 21:59

I是内心,CI再交圆O于$C_0$,P在圆O上,$C_0P=C_0N$,则$△C_0NB\cong △C_0PI$
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2020-7-31 22:01

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2020-7-31 22:05

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-8-1 00:27 编辑

52.△ABC内接于圆ω,M是BC的中点,AH⊥BC于H.DE是ω的一条经过M的弦。DE与AH相交于F.$\odot$(AEF)分别与直线AB、AC再交于I和J,过I和K分别作$\odot$(AEF)的切线,两切线相交于K.求证: AE⊥EK.
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2020-4-17 15:46

56.
QQ图片20200423123934.jpg
2020-4-23 12:41

57.
QQ图片20200423125207.jpg
2020-4-23 12:54

58.sondat推广:如果ABC,DEF正交中心P,Q且存在AX,BX,CX分别平行于DY,EY,FY,那么PX//QY
59.$I_b$为b所对旁心,D,E,F为三边切点,M是$FI_b$的中点,则$\angle ADI_b=\angle MCA$
QQ图片20200423174357.jpg
2020-4-23 17:45

60.I_CD垂直AC,DP平行AI,I_CE垂直BC,EQ平行BI,RS同理,PQ交RS于T,TI_A交BC于K,AI交BC于X,于是BX=CK
QQ图片20200424101609.png
2020-4-24 10:16

61.
QQ图片20200424101710.jpg
2020-4-24 10:17

都等价于AD过In(外接圆和内切圆的内位似中心)
因为他恒过内位似中心所以只要他们共内切圆就是等角线吗
ln是Ge的等角共轭点
62.
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2020-4-24 10:22
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2020-4-24 10:22
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2020-4-24 10:22

64.
QQ图片20200424101953.jpg
2020-4-24 10:20
令AK与圆交于P,连LP证相切
65.
QQ图片20200423200620.png
2020-4-23 23:37
等价于要证EAI和EIH相似
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2020-4-23 23:38

66.
QQ图片20200424123939.png
2020-4-24 12:40

AE=AF倒角你会发现FQ是对称的再倒角证个平行就完了
注意到PQEF在以A为圆心的圆上
68.
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2020-4-24 12:48

69.I是内心,AD=AE.求证:BF/CF=BD/CE
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2020-4-24 12:52

70.
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2020-5-10 12:10
FD过旁心
BFC是和圆I相切
71.设垂心为H,外心为O,切线三角形为△A'B'C',过D作AC,AB平行线交BE,CF于Q,R,则$\angle CBH=\frac\pi2-C=\angle B'C'O$,同理$\angle BCH=\angle C'B'O,\therefore \triangle BCH\sim\triangle C'B'O,\because \angle CBP=\pi-2C=\angle A'C'B',$同理$\angle BCP=\angle A'B'C',\therefore \triangle PBC\sim\triangle A'C'B',\therefore PBCH\sim A'C'B'O,\because HD\bot BC,OA\bot B'C',\therefore D,A$相似对应,$\because A'B=A'C,\therefore PQ=QR$,过P作AB,AC平行线交BC于$P_1,P_2,\because BC=CF,BF\parallel PP_1\parallel DR,\therefore P_1D=PR,$同理$P_2D=PQ,\therefore P_1D=P_2D,\because \triangle ABC\sim \triangle PP_1P_2,$M,D相似对应,$\therefore PD\parallel AM$
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2020-5-10 17:35

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2020-5-13 16:56
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2020-5-13 16:56
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2020-5-13 16:56
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2020-5-13 16:56
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2020-5-13 16:56

等腰梯形CDFB内接于圆A,C,D处的切线交于E,EF再交圆C于H,BH交CD于I,则I为CD中点
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2020-5-18 09:14

证明:取FH中点G,则C,D,G在以AE为直径的圆上
∵∠CGE+∠CHD=∠CDE+180°-∠DAE=180°
∴∠CGF=∠CHD,同理∠FGD=∠CHD
∵△HCD∽△GCF,∴HD*CF = CD*GF
∵△DHF∽△IDB,∴DH*DB = HF*ID
∴HF*ID = CD*GF
∵△GFD∽△HCD,∴GF*CD = FD*HC
∵△DHF∽△IHC,∴DF*HC = HF*IC
∴HF*IC = GF*CD
∴CD*ID = IC*CD
∴ID=IC
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2020-5-18 09:22
L为ts和ab的交点,求证ml垂直ab
你截取BA'=AC然后L是AA'中点顺相似共轭导一导
ms⊥ef,算是ml⊥ab的下一级结论吧
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2020-5-18 11:01

从点O出发三条射线OX,OY,OZ,求证∠XOY,XOZ的平分线、∠YOZ的外平分线三线共面
不妨设OX,OY,OZ相等,XYZ各边中点设为x,y,z,xz平行XZ平行角XOZ外角分线
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2020-5-18 11:15
∠A=∠FOG(O是外心,FG是中点)延长BO,CO与圆交于两点,然后帕斯卡。也可以蝴蝶定理
QQ图片20200522174430.jpg
2020-5-22 17:51
直角梯形FBCG.F,G满足AF=BF,AG=CG.设D,E为BC边上两点且AD=AE.记H,I满足AH=HD,AI=IE且HDEI为矩形.延长HI交CG于点J,延长EI交FG于点K.求证:FH∥KJ[attach
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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-8-1 22:26 编辑

继续摞题...
△ABC内心为I ,圆O与边AB、BC相切,圆$O_2$过A、C,且$O_1,O_2$外切于点M。求证:∠AMC的平分线过点I。
QQ图片20200518065647.jpg
2020-5-21 00:00

设H为AD中点,I为CE中点,O为△ABE外心,作OG⊥CF垂足为G.求证:△BCD~△GIH
QQ图片20200520131827.png
2020-5-21 00:01

过正方形的顶点A的直线交BC、CD于M、N, DM与BN交于点L,BP⊥BN交DM于点P。求证: (1) CL⊥MN: (2)∠MON=∠BPM。
QQ图片20200518065647.jpg
2020-5-21 00:04

QQ图片20200518065647.jpg
2020-5-21 00:05

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2020-5-21 00:05
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2020-5-21 00:07
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2020-5-21 00:06

A,B在以EF为直径的圆上,ABC的内心I对BCE的等角共轭为J,求证BFIJ共圆
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2020-8-1 00:05

关于四边形的三个重心:
面积重心:
QQ图片20200716201754.jpg
2020-7-31 23:57

质点重心:四点的坐标的平均、一点到其他三点的重心的连线总共四线段共点且四线段均被该点四等分、两组对边的中点连线和两对角线中点连线共三线段共点且被该点平分
圆内接四边形的质点重心在其外接抛物线的主轴上
纯几何吧3565

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-22 17:56 编辑

QQ图片20200522174430.jpg
2020-5-22 17:45

O、N分别是△ABC的外心和九点圆心,O'是△ABC外接圆上的任意三点P、Q、R关于△ABC的西姆松线围成的三角形的外心,N是△PQR的九点圆心,求证: ONO'N'是平行四边形
QQ图片20200522174331.png
2020-5-22 17:43

浅蓝△∽深蓝△,故深蓝△的垂心为浅蓝△的外心
△MNP相似于P、Q、R关于△ABC的西姆松线围成的三角形,故H''=O',故NN'O'为△OHH'三边中点
M,N,P为中点,由位似得△MPN的垂心H''为HH'中点

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-23 07:36 编辑

QQ图片20200523073458.png
2020-5-23 07:36

△ABC中,AD为角平分线,AE为高,过AD中点作一直线,交以AB、AC为直径的圆于X,Y,则∠XAY=∠XEY
证明:

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-25 08:45 编辑

已知△ABC, H为垂心,D-垂足圆交BC于另一点M,MW⊥EF,DEVF为平行四边形,求证: WV平分AH
解:易知△WEF∽△QBC,因此$\frac{EU}{UF}=\frac{BM}{MC}$,这表明U在圆(BF),(CE)的根轴上,因此V, U, H共线
取D关于△ABC的等角共轭点Q,△EMF垂心P
设DQ, DV中点分别为O,J,则PM=2OJ=QV
因而VQMP为平行四边形,VA,VW,VU,VP为调和线束
由此即知VW过AH的中点
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2020-5-25 08:15

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-9-6 23:22 编辑

1.AB为圆O直径,弦CD交B处的切线于P,OP交CA,DA于C',D',求证C'O=D'O
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2020-6-14 01:21

证明:过P作另一条切线,切点为E,由于PB,PE为切线,PCD为割线,所以BCED为调和四边形,故AC,AE,AD,AB为调和线束,AE⊥BE,OP⊥BE,所以AE∥OP,故C'O=D'O
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2020-6-14 01:29

2.$\triangle$ABC中,AB<AC,M是BC中点,BH⊥AM于H.Q在AM的反向延长线上,且AQ=4MH,AC与BQ交于点D.求证:△ADQ的外心在$\odot$BCD上
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2020-9-2 22:13

证明:倍长BH至E并延长交$\odot$BCD于F,则$\overline{AG}=\frac12\overline{AQ}=2\overline{MH}=\overline{CE}$,AGEC为平行四边形,AO=CF
又$\angle AOG=\angle BDC=\angle CFE,\angle AGO=\angle CEF=90^\circ$,$\therefore\triangle AOG\cong \triangle CFE,$ACFQ为平行四边形.又OA=OD,$\therefore$CFOD为等腰梯形,O在$\odot$BCD上.
3.$\angle$ACB=90°,G为ABC的重心,P为射线AG上一点,$\angle CPA=\angle CAB$,Q为射线BG上一点,$\angle CQB=\angle ABC$,证明:$\odot AQG,\odot BPG$的另一个交点在AB上.
作CD$\bot AB$于D,$\because CG$为中线,$\angle ACB=90^\circ,\therefore\angle BCG=\angle ABC=\angle CQB,\therefore\triangle BCG\sim\triangle BQC,\therefore AB·BD=BC^2=BG·BQ,\therefore AQGD$共圆.
$\because \angle CPA=\angle CAB=\angle ACG,\therefore \triangle ACP\sim\triangle AGC,AD·AB=AC^2=AP·AG,\therefore BGPD$共圆.故D为$\odot$AQG与$\odot$BGP的交点.
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2020-9-2 23:06

4.$\triangle ABC$中,O为内心,I为外心,AI交BC于D,AI再交外接圆于E,IF$\bot$BC于F,$\angle OFE=90^\circ$,证明:$\triangle ODF$外心O'在OI上.
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2020-9-2 23:49

5.$\triangle ABC$中,若$\angle BAC>90\degree$,作D使得A为BCD的内心;若$\angle BAC<90^\circ$,作D使得A
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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-9-12 20:37 编辑

1.$\triangle ABC$的内切圆$\odot$I分别与BC,CA,AB切于D,E,F,取$\triangle BIC$的垂心H,FH与DE交于S,EH与DF交于T.证明HA平分ST.
1.gif
2020-9-12 18:39

过E作$EK\parallel HC$交BC于K,则$\frac{TH}{HE}=\frac{DC}{CK}=\frac{EC}{CK}=\frac{\sin\angle EKC}{\sin\angle CEK}=\frac{\sin\angle BCH}{\sin\angle HCA}$
同理$\frac{FH}{HS}=\frac{\sin\angle ABH}{\sin\angle HBC}$
又对$\angle ABC$及点H用角元塞瓦定理得$\frac{\sin \angle B C H}{\sin \angle H C A} \cdot \frac{\sin \angle C A H}{\sin \angle H A B}, \frac{\sin \angle A B H}{\sin \angle H B C}=1$于是$\frac{S_{\triangle A T H}}{S_{\triangle A S H}} =\frac{S_{\triangle A T H}}{S_{\triangle A E H}} \cdot \frac{S_{\triangle A E H}}{S_{\triangle A F H}} \cdot \frac{S_{\triangle A P H}}{S_{\triangle A S H}}=\frac{T H}{H E} \cdot \frac{\sin \angle E A H}{\sin \angle F A H} \cdot \frac{P H}{H S} =\frac{\sin \angle B C H}{\sin \angle H C A} \cdot \frac{\sin \angle C A H}{\sin \angle H A B} \cdot \frac{\sin \angle A B H}{\sin \angle H B C}=1$
2.P关于其塞瓦三角形的三边的对称点为Q,R,S,求证AQ,BR,CS共点
2000调和专题例2.3
360截图20150723001922687.jpg
2020-9-12 20:07

3.四边形ABCD内接于圆$\Omega$,E,F分别在BD, CA上,且满足EF$\parallel$BC,过B关于$\Omega$的切线交CE于P,过C关于$\Omega$的切线交BF于Q,求证:∠PAB=∠QDC

A(P,E,B,C)=B(P,D,A,C)=C(Q,A,D,B)=D(Q,F,C,B),而且AEFD共圆,∠BAE=∠CDF,∠CAE=∠BDF,即可得证
QQ图片20200912192053.png
2020-9-12 19:23

B(B,D,A,C)=C(B,D,A,C)=C(C,A,D,B)

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