本帖最后由 hbghlyj 于 2020-4-11 10:26 编辑
收集到的一些小问题,没时间研究,先堆在这里吧
32.矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC边上一动点,C与C'关于AE对称,在AE上取F,使$\angle ABF=\angle C'BC$,则BE+AF的最小值为
33.$\triangle$ABC中,O是外心,H是垂心,点P和Q满足$\angle PAC=\angle QBC$,作Q关于BC的对称点Q',求$PQ'^2-HP^2$的最小值
34.E,F为圆内接四边形ABCD边BC,AD中点,AC,BD交于O,AB,CD交于P,求证:PQ是$\odot QEF$的切线
35.平面上任意P关于$\triangle ABC$的Ceva三角形为DEF,点X关于DEF的等角共轭为Y,$\Gamma$为过ABCP的等轴双曲线,则X关于$\Gamma$的极线过Y.
我们立足于DEF来看,容易看出DEF的四等心均要在这锥线上,于是就转化为了如下命题:三角形ABC的一对等角共轭点P,P*,L是过II1I2I3的一条锥线,证明P关于L的极线过P*,也即要证明PP*被L调和分割,但由A(II2, PP*) =-1,容易看出II1I2I3的任一组对边调和分割PP*,由笛沙格对合定理,其外接锥线也调和分割PP*
36.已知△ABC,△PAB和△QAC是△ABC外面的两个三角形,满足AP=AB, AQ=AC及∠BAP=∠CAQ,线段BQ与CP交于点R.设△BCR的外接圆圆心为O.证明: AO⊥PO.
37.在$\triangle ABC$中,AC=2,BC=4,作等边$\triangle ABD$,则AB+2CD的最小值为
38.△ABC内点D,∠ABD=∠ACD,DE⊥AB,DF⊥AC,点M是BC的中点,P是EF上任意一点,MF与BP交于Q.证明: DP⊥AQ.
39.设O和I分别为△ABC的外心和内心,△ABC的内切圆与边BC,CA, AB分别相切于点D, E,F,直线FD,CA相交于点P,直线ED, AB相交于点Q,点M,N分别为线段PE,QF的中点,求证: OI⊥MN.
根轴
40.已知一条圆锥曲线上的五个点或者更多点,求任意一条直线和这条圆锥曲线的交点(如果存在)
要分清楚两个概念
纽堡曲线上一点可以尺规
纽堡曲线不能尺规
41.
42.设A,B,C为抛物线$\Gamma$上三点,满足△ABC的垂心H与$\Gamma$的焦点重合.证明:无论怎样改变A, B, C在$\Gamma$上的位置,只要△ABC垂心H的位置保持不变,则△ABC的内切圆半径也保持不变.
只需证明H在三角形ABC的内切圆上,再计算HI即可
以H为中心,$-2HA\cdot HH_a$为幂的反演$\psi$将圆(A,AH),(B,BH),(C,CH)分别映射到BC,CA,AB.所以,$l$反演到三角形ABC的内切圆$\omega$,所以,H在$\omega$上(**保外接圆)
剩下余弦定理计算
$HI=\sqrt{2r^2-4R^2\cos A\cos B\cos C}$
43.在锐角△ABC中,AB>AC, M是边BC的中点,P是△AMC内一点,使得∠MAB=∠PAC.设△ABC,ABP,ACP的外心分别是$O,O_1,O_2$.证明:直线AO平分线段$O_1O_2$.(陪位中线 2010年CTST)
44.
45.
46.
47.已知P是△ABC中BA延长线上一点, 且PA=AC,直线PC再次交△ABC的外接圆于D, E 是BC中点,点F满足FA//DE、FD//AE。求证: PF⊥BC。
取弧AC中点证BGD',B'ED中心对称即得(点以我上图为准)
|