[不等式] 这样增量代换，对吗？

hbghlyj

a,b,c为互异实数,求$S=\sum\frac{a^2b^2+3}{(a-b)^2}$的最小值
标准答案
当$a=\sqrt[4]{27},b=0,c=－\sqrt[4]{27}$时，$S=\frac{3\sqrt3}2$，下面证明$\frac{3\sqrt3}2$就是S的最小值
即$\sum\frac{a^2b^2+3}{(a-b)^2}≥\frac{3\sqrt3}2$，将a,b,c同乘$\sqrt[4]{3}$，即证$\sum\frac{a^2b^2+1}{(a-b)^2}≥\frac{3}2$，而$\sum\frac{2a^2b^2+2}{(a-b)^2}=\sum\frac{(ab＋1)^2}{(a-b)^2}＋\sum\frac{(ab－1)^2}{(a-b)^2}≥\sum\frac{(ab＋1)(bc＋1)}{(a-b)(b-c)}－2\sum\frac{(ab-1)(bc-1)}{(a-b)(b-c)}=3$
我的思路
设a<b<c,s=c-b,t=b-a,$\frac{(b^4 + 3) s^4 + 2 s t^3 (b^4 + b s^3 + 3) + 2 s^3 t (b^3 (b + s) + 3) + t^4 ((b^2 - b s + s^2)^2 + 3) + 3 s^2 t^2 (b^4 + b^2 s^2 + 3)}{s^2t^2(s+t)^2}(p:=\frac st)=\frac{(b^4 + 3) p^4 + 2 p (b^4 + b s^3 + 3) + 2 p^3 (b^3 (b + s) + 3) +  ((b^2 - b s + s^2)^2 + 3) + 3 p^2  (b^4 + b^2 s^2 + 3)}{s^2(p+1)^2}$(*),
对b求导,$\frac{2 (2 b(1+p + p^2) + s(p-1)) (b^2(1+p + p^2) - b s(1-p)+ s^2)}{(1 + p)^2 s^2}$,将实根$b=\frac{s(1-p)}{2(1+p + p^2)}$代入(*)得$\frac{9 (p + 1)^2s^2}{16 (p^2 + p + 1)^2}+ \frac{3 (p^2 + p + 1)^2}{s^2(p+1)^2}≥\frac32\sqrt{3}$
调整法
若a,b,c同≤0或两≤0一≥0,令a,b,c同时变号,待证式不变。若a,b,c同≥0,设a＞b＞c≥0,易知S(a,b,c)≥S(a,b,-c),只需证a＞b≥0≥c的情形.S(a,b,c)≥S(a-b,0,c-b)$\Leftrightarrow b (a^2 c + 2 a b^2 - 5 a b c + a c^2 - b^3 + 2 b^2 c) (2 a^2 b^2 - 3 a^2 b c + 2 a^2 c^2 - 2 a b^3 + 3 a b^2 c - 3 a b c^2 + b^4 - 2 b^3 c + 2 b^2 c^2) (a^2 c + 2 a b^2 - 5 a b c + a c^2 - b^3 + 2 b^2 c) (2 a^2 b^2 - 3 a^2 b c + 2 a^2 c^2 - 2 a b^3 + 3 a b^2 c - 3 a b c^2 + b^4 - 2 b^3 c + 2 b^2 c^2)$如何证明＞0,只需证a＞0＞c,$S(a,0,c)=\frac{a^2c^2＋3}{(a-c)^2}＋\frac3{a^2}＋\frac3{c^2}≥\frac{a^2c^2＋3}{2(a^2+c^2)}＋\frac{12}{a^2+c^2}=\frac{(a^2-27)(c^2-27)}{2(a^2+c^2)}+\frac{3\sqrt3}2≥\frac{3\sqrt3}2$

色k

分子分母除以 `t^4` 后分母应该是 `s^2(p+1)^2`

hbghlyj

回复 2# 色k
我又补充了一个调整法。就差一点完成了。拜托您看一下

Shiki

码一个从恒等式出发的证明

我们熟知对$x+y+z=k\pi$有
$$\sum \cot x\cot y=1$$

据此可以得到两个代数形式的恒等式

$$\sum \frac{1+ab}{a-b}\frac{1+bc}{b-c}=1$$
$$\sum \frac{1- ab}{a-b}\frac{1-bc}{b-c}=-1$$

证明只需要展开

考虑处理系数后的不等式

$$\sum \frac{1+a^2b^2}{(a-b)^2} \geqslant \frac{3}{2}$$

\begin{align}
2LHS&=\sum [(\frac{1+ab}{a-b})^2+(\frac{1- ab}{a-b})^2]\\
&\geqslant -2\sum \frac{1- ab}{a-b}\frac{1-bc}{b-c}+\sum \frac{1+ab}{a-b}\frac{1+bc}{b-c}\\
&=3
\end{align}

用到的依然是两个较为平凡的放缩：
$$\sum x^2 \geqslant \sum xy $$和
$$\sum x^2 \geqslant -2\sum xy$$

和怪异的取等相吻合。。。

hbghlyj

回复 4# Shiki
1#第三个是调整法。就差一点完成了。拜托您看一下

Shiki

回复 5# hbghlyj

我是不会那个才会弄4L的解答的，我是学生，不需要用“您”来称呼的

hbghlyj

回复 6# Shiki
我也是学生。