[数列] 微信网友问的一道数列压轴题

kuing

j***f:

2019-12-13 00:01

撸了下发现一般的 $\lambda$ 都可以求通项，无需按小问的顺序行事。

递推式变为
\[
S_{n+1}-\frac{a_{n+1}}{a_n}(S_n+1)=-\lambda,\quad(1)
\]将 $n$ 变成 $n+1$ 得
\begin{gather*}
S_{n+2}-\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}(S_{n+1}+1)=-\lambda,\\
S_{n+1}+a_{n+2}-\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}(S_n+a_{n+1}+1)=-\lambda,\\
S_{n+1}-\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}(S_n+1)=-\lambda,\quad(2)
\end{gather*}式 (1) 与式 (2) 相减得
\[
\left( \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}-\frac{a_{n+1}}{a_n} \right)(S_n+1)=0,
\]由 $a_n$ 各项为正有 $S_n>0$，所以
\[
\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n},
\]而对原递推式取 $n=1$ 易得 $a_2=1+\lambda$，所以 $a_n$ 的通项为
\[
a_n=(1+\lambda)^{n-1},
\]因此：
第（1）问 $a_n=2^{n-1}$，及 $b_n=(n+1)2^{n-1}=n\cdot2^n-(n-1)\cdot2^{n-1}$，累加得 $T_n=n\cdot2^n$；
第（2）问显然只能 $\lambda=0$。

本题后来也发到了我已荒废三年的微信公众号中：
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz ... d4d823f49045c005#rd

力工

大神辛苦！这么晚都还在撸题。