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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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» 求椭圆中两个结论的证明
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lemondian
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发表于 2019-12-4 17:54
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[几何]
求椭圆中两个结论的证明
1.已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0),P(x_0,y_0)$是椭圆$C$内一点,过$P$点作直线$m:\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$的垂线,垂足为$M$,过$P$点的任一直线$l$与椭圆$C$交于$A,B$两点,则有$\angle AMP=\angle BMP$。
2.已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0),P(x_0,y_0)$是椭圆$C$外一点,过$P$点作直线$m:\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$的垂线,垂足为$M$,过$P$点的任一直线$l$与椭圆$C$交于$A,B$两点,则有$\angle AMP=180^o-\angle BMP$。
求解析法或平几方法证明过程。
2019-12-4 17:53
2019-12-4 17:53
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发表于 2019-12-4 18:27
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两个结论其实是同一个结论。
实际上是调和点列的事:
`\triangle MAB` 中,`\angle AMB` 的内角平分线及外角平分线分别交 `AB` 于 `P`, `Q`,则 `A`, `P`, `B`, `Q` 是调和点列。
反之:
若 `A`, `P`, `B`, `Q` 是调和点列,点 `M` 满足 `PM\perp MQ`,则 `PM`, `MQ` 分别是 `\angle AMB` 的内角平分线及外角平分线。
2019-12-4 18:27
所以其实没椭圆什么事。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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12673zf
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发表于 2019-12-4 18:51
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kuing
平面几何里调和点列的性质我知道,但这个椭圆怎么看出来是调和点列的?从要证明的结果逆推?
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发表于 2019-12-4 19:01
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12673zf
由 P 的坐标与直线 m 的方程可知它们互为极点极线,因此过 P 的直线 AB 与直线 m 的交点就是调和第四点,也就是 2# 的 Q。
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12673zf
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发表于 2019-12-4 19:24
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kuing
之前在手机上看没看清点和直线方程,没注意到这点(虽然注意到了应该也想不到是调和),谢谢!
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lemondian
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发表于 2019-12-4 20:46
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kuing
如果不用调和的知识,有没有其它做法?
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发表于 2019-12-9 23:04
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lemondian
不知道……
PS、刚发现 2# 打错了个字母,现已修正
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