有了,并不需要什么数论的东东,希望没错:
显然如果有一个根是整数,则另一个也是,而且它们都是正的,设 `f_i(x)=0` 的两根是 `m_i`, `n_i`(`i=1`, `2`, `3`),由韦达有
\begin{align*}
a&=m_1+n_1=m_3n_3,\\
b&=m_2+n_2=m_1n_1,\\
c&=m_3+n_3=m_2n_2,
\end{align*}由此可得
\[(m_1-1)(n_1-1)+(m_2-1)(n_2-1)+(m_3-1)(n_3-1)=3,\]记 `p_i=(m_i-1)(n_i-1)`(`i=1`, `2`, `3`),即 `p_i\geqslant 0`, `p_1+p_2+p_3=3`。
若 `p_i` 中有 `1`,则有一对 `(m_i,n_i)=(2,2)`,则 `a`, `b`, `c` 中有两个是 `4`,再像楼上那样用判别式可证剩下那个也是 `4`;
若 `p_i` 中没有 `1`,那就只能两个 `0` 一个 `3`,不妨设 `p_1=p_2=0`,则 `(m_3,n_3)=(2,4)`,代回上面得 `(m_1,n_1)=(1,7)`, `(m_2,n_2)=(1,6)`,即 `(a,b,c)=(8,7,6)`。
综上,所有符合的是 `(4,4,4)` 与 `(8,7,6)` 及其轮换,共四组。
可能会有更简单的方法…… |