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[几何] 面积比的取值范围

已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(b>a>0)$,若直线$l$与圆$x^2+y^2=r^2(其中\dfrac{1}{r^2}=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2})$相切,且直线$l$和椭圆交于$A,B$两点,$O$为原点,$OA,OB$分别与圆交于$C,D$两点,设$\triangle AOB,\triangle COD$的面积分别为$S_1,S_2$,求$\dfrac{S_1}{S_2}$的取值范围。
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结论:椭圆 `x^2/a^2+y^2/b^2=1`(或双曲线 `x^2/a^2-y^2/b^2=1`(`b>a>0`))上两点 `A`, `B`,有 `OA\perp OB\iff AB` 与 `x^2+y^2=r^2` 相切,其中 `1/r^2=1/a^2+1/b^2`(或 `1/r^2=1/a^2-1/b^2`),并且有 `1/r^2=1/OA^2+1/OB^2`。

所以在本题中,有
\[\frac{S_1}{S_2}=\frac{OA\cdot OB}{r^2}=\frac{OA}{OB}+\frac{OB}{OA}\geqslant2,\]另外,圆与双曲线必相交,当 `A`, `B` 中的一个点趋向那交点时另一点趋向无穷远(其实这还需要论证一下,不过懒了),所以比值可以无穷大,所求范围就是 `[2,+\infty)`。

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回复 2# kuing

(1)这个结论$\dfrac{1}{r^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}$对双曲线也成立吗?
(2)对于椭圆来说,$\dfrac{S_1}{S_2}$的取值范围是什么呢?

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回复 3# lemondian

(1)这是用了直角三角形里的结论:1/h^2=1/a^2+1/b^2,其中 h 是斜边上的高,a, b 为直角边。
(2)自己来。

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回复 4# 色k
谢谢!
(1)明白这个了。
(2)对于椭圆,$\dfrac{S_1}{S_2}$的取值范围我是用解析法,死算$\dfrac{S_1}{S_2}\in[2,\dfrac{a^2+b^2}{ab})$,运得量好大,也不知对不对?
有没有更好的做法?

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回复 5# lemondian

擦,椭圆难道不是更简单吗?同样是 `S_1/S_2=OA/OB+OB/OA`,不妨设 `a<b`,则 `OA`, `OB\in[a,b]`,故 `a/b\leqslant OA/OB\leqslant b/a`,当 `A`, `B` 取椭圆顶点时取等,所以 `S_1/S_2\in[2,a/b+b/a]`。

双曲线时尚且有待论证 `A`, `B` 可以无穷远才能说明比值可以无穷大,而椭圆没有这个问题,所以我说它更简单。

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