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[几何] 空间向量的两个命题判断正误

本帖最后由 敬畏数学 于 2019-11-26 15:54 编辑

对于空间的任意一点O,A、B、C三点共线的充要条件是存在实数x,y,使得:$ \vv{OC} =x\vv{OA}+y\vv{OB}$,其中,$ x+y=1 $
对于空间的任意一点O,A、B、C、D四点共面的充要条件是存在实数x,y,z,使得:$ \vv{OD} =x\vv{OA}+y\vv{OB}+z\vv{OC}$,其中,$ x+y+z=1 $
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回复 1# 敬畏数学


  错误的。$O,C$重合且为$AB$的中点,就不满足充要性了。

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回复 2# 力工
你说的是第一个,好像你说的问题?

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回复 3# 敬畏数学
第二个$O$为重心时就不满足充要性了啊

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在知乎回的四点共面的充要条件,也写一下。

==
总之(这个共面向量定理表述是比较麻烦的,有两个细节,包括一些部分常见的资料里,也会有些小问题):

若 `A,B,C,D` 四点共面且 `A,B,C` 三点不共线,则对在平面 `ABC` 外任一点 `O` 有 `\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC} `且` x+y+z=1` .
反之,若对空间任意一点 `O` 和不共线的三点 `A,B,C` 满足 `\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}` 且 `x+y+z=1` ,则 `A,B,C,D` 四点共面.

具体证明略.



由和 1 推四点共面,在具体题中一般(会默认三点不共线,否则就过于简单,平凡)没有问题;但是由四点共面推和 1就要特别注意不共线,不共面这两个条件了,比如 2005年全国卷数学理科第15题.

罢了,已经晚了,也有可能追问,我就把题帖上来吧:
`\triangle ABC` 的外接圆的圆心为 `O` ,两条边上的高的交点为 `H`, `\overrightarrow{OH}=m\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)` ,则实数 `m = \_1\_`.
(得到结果倒是容易,只需要所三角形特殊为等腰直角三角形即可.)

但是如果不注意点`O`在平面`ABC`内,就是出现 `m+m+m=1\Rightarrow m=\frac 13` 这种莫名的错误.

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楼主给的两个命题应是正确的。

https://www.zhihu.com/zvideo/1378672350821482496
空间向量及其运算-第6讲:三点共线问题
发布于 2021-05-20 11:28 · 3563 次播放

https://www.zhihu.com/zvideo/1379030409309806592
空间向量及其运算-第7讲:四点共面问题
发布于 2021-05-21 11:09 · 8104 次播放

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