在知乎回的四点共面的充要条件,也写一下。
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总之(这个共面向量定理表述是比较麻烦的,有两个细节,包括一些部分常见的资料里,也会有些小问题):
若 `A,B,C,D` 四点共面且 `A,B,C` 三点不共线,则对在平面 `ABC` 外任一点 `O` 有 `\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC} `且` x+y+z=1` .
反之,若对空间任意一点 `O` 和不共线的三点 `A,B,C` 满足 `\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}` 且 `x+y+z=1` ,则 `A,B,C,D` 四点共面.
具体证明略.
由和 1 推四点共面,在具体题中一般(会默认三点不共线,否则就过于简单,平凡)没有问题;但是由四点共面推和 1就要特别注意不共线,不共面这两个条件了,比如 2005年全国卷数学理科第15题.
罢了,已经晚了,也有可能追问,我就把题帖上来吧:
`\triangle ABC` 的外接圆的圆心为 `O` ,两条边上的高的交点为 `H`, `\overrightarrow{OH}=m\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)` ,则实数 `m = \_1\_`.
(得到结果倒是容易,只需要所三角形特殊为等腰直角三角形即可.)
但是如果不注意点`O`在平面`ABC`内,就是出现 `m+m+m=1\Rightarrow m=\frac 13` 这种莫名的错误. |