[几何] 两个比较精致的填空题 求个思路

facebooker

1)已知$x\in(0,1),e^{ax}-e^{-ax}<\dfrac{4x}{1-x^2}$恒成立,求$a$的取值范围__
2) 圆心为$O$,半径为2上的圆上有$A,B$两点,圆内一点$P$满足$PA\perp PB,且OP=1$,求$PA+PB$的最小值___

kuing

还好还没开始想，打了个转回来，第二题竟然换掉了

facebooker

$\triangle ABC,S_{\triangle ABC}=\dfrac{c^2}{8}$,则$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$的取值范围___

抱歉 之前那个题错了 换成这个.

业余的业余

第一题的答案应该是 $a\le 2$.

严格的证明写不出来，好在是填空题

首先 $a\le 0$ 时，显然不等式恒成立。只考虑 $a>0$ 的情形。原不等式等价于 $e^{ax}+\frac 2{1+x}<e^{-ax}+\frac 2{1-x}$。考虑定义在 $(-1,\infty)$ 上的函数 $f(x)=e^{ax}+\frac 2{1+x}$, 令 $f'(x)=0$, 得 $ae^{ax}=\frac 2{(1+x)^2}$, 左边单增，右边单减，显然在 $(-1,\infty)$ 上有且仅有一个交点，简单分析可知 $f(x)$ 的图像开口向上。注意到 $a=2$ 时图像的顶点恰在 $x=0$ 处，当 $a>2$ 时，图像的顶点在 $(-1,0)$, 显然不可能恒满足 $f(x)<f(-x), x\in(0,1)$, 只需证 $f'(x)<|f'(-x)| x\in(0,1)$(充分非必要) 我们应该就可以说服自己从原点出发，分别往正负方向走 $0<x<1$ 的距离后，负方向的函数值 $f(-x)$ 恒大于正方向的函数值 $f(x)$, 即题目所求。现在问题归结为证明对 $0<x<1，0<a\le2$, 有

$f'(x)<-f'(-x)$

成立。或 $ae^{ax}+ae^{-ax}\le 2e^{2x}+2e^{-2x}<\frac 2{(1+x)^2}+\frac 2{(1-x)^2}$. 感觉越走越远了 从直觉来说，结论应该成立。

乌贼

第二题\[ \sqrt{14}-\sqrt{2}\leqslant AP+BP\leqslant \sqrt{14}+\sqrt{2} \]

facebooker

大神给个过程吧 答案没问题 主要是不会做呀

kuing

回复 6# facebooker

第二题让我写的话我肯定会用速度分解来玩，但你们肯定不接受，所以还是不写了

乌贼

回复 6# facebooker
不是不想回答，只是不好表达。如图：
  

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2019-11-26 14:32

点$ E $在小园$ O $上，$ \triangle BCE $为等腰直角三角形\[ PB+PD\geqslant EB+ED\\DC\geqslant DA \]有\[ PA+PB\geqslant EB+EC \]

kuing

$\triangle ABC,S_{\triangle ABC}=\dfrac{c^2}{8}$,则$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$的取值范围___
facebooker 发表于 2019-11-25 02:27

记 `c` 上的高为 `h_c`，则 `S=c^2/8\iff ch_c/2=c^2/8\iff c=4h_c`，所以其实是 FAQ（《撸题集》P.1015~1016 FAQ 9（版本 2）），可惜人教的链接都无法访问了，只好再写一次……
最小值显然是 `2`，最大值方面
\[\frac ab+\frac ba=\frac{c^2+2ab\cos C}{ab}=\frac{8S}{ab}+2\cos C=4\sin C+2\cos C\leqslant2\sqrt5,\]由 `c=4h_c` 可知 `\angle C` 能取遍所有锐角，因此上式的等号一定能取。

kuing

回复 8# 乌贼

如何说明 DC⩾DA？

力工

回复 7# kuing
速度分解来一发啊，我的神。

乌贼

回复 10# kuing
如图：

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2019-11-29 03:46

作$ OF\perp BP,OG\perp CE $，垂足分别为$ F,G $，当$ BP $与$ BE $重合时\[ BP_1=P_1E+EB>EB+CE\]当$ BP $与$ BE $重合后\[ PB\geqslant P_1B>CE+BE \]当$ BP $与$ BE $重合前\[ OG=EG>PF\riff AN>CM\riff \angle ACE>\angle PAC\riff DC>DA \]

Infinity

1. $f(x)=e^{ax}-e^{-ax}$ 和 $g(x)=\frac{4x}{1-x^2}$ 均为单调函数，且 $g(x)$ 单增。注意到 $f(0)=g(0)=0$，故$a\leqslant 0$可使不等式在(0,1)上恒成立。而当$a>0$时，只要使 $f'(0)\leqslant g'(0)$即可（这里需要进一步解释，先留着再说）。解得$0<a\leqslant 2$，因此 $a\in (-\infty,2]$.

2. $AB$为圆的直径，当$P$点与小圆相切时即$OP$垂直于$AB$时，$PA+PB$最小，通过计算得知$AB$长为$\sqrt{7}-1$，故$PA+PB\geqslant \sqrt{2}AB=\sqrt{14}-\sqrt{2}$.

kuing

回复 11# 力工

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2019-12-1 16:33

如图所示，让 `\angle APB` 绕 `P` 顺时针旋转，角速度为 `\omega`，作速度分解后可知，此时 `PA` 的减少速度为 `\omega PA\cot\angle PAC`，同理 `PB` 的增加速度为 `\omega PB\cot\angle PBC`，当 `PA>PB` 时，因为 `CA=CB`，从而 `\angle PAC<\angle PBC`，即 `\cot\angle PAC>\cot\angle PBC`，可见 `PA` 的减少速度大于 `PB` 的增加速度，因此 `PA+PB` 是减少的，直至 `PA=PB` 为止。

显然，对于一般的角度，此法都适合。

力工

回复 14# kuing
厉害了！谢谢kuing大神