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连分数的恒等式


K的意思是把后面的所有加到分母上,如$K_{i=1}^3\frac12=\frac1{2+\frac1{2+\frac12}}$

本帖最后由 hbghlyj 于 2019-11-25 00:28 编辑

(1)$\frac{z-1}{2+(\sqrt{z}-1)}=\sqrt{z}-1$
(2)$\frac{\sqrt{1+z}-1}{2}=\frac{\frac{z}{4}}{1+\frac{\sqrt{1+z}-1}{2}}$
(3)为何有辐角的条件限制?
(4)$\frac{\sqrt{1+z}-1}{4}=\frac{\frac{z}{16}}{\frac12+\frac{\sqrt{1+z}-1}{4}}$

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欧拉恒等式将无穷级数与无穷连分式联系起来
$a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + \cdots + a_0a_1a_2\cdots a_n = \cfrac{a_0}{1 - \cfrac{a_1}{1 + a_1 - \cfrac{a_2}{1 + a_2 - \cfrac{\ddots}{\ddots \cfrac{a_{n-1}}{1 + a_{n-1} - \cfrac{a_n}{1 + a_n}}}}}}\,$
对n归纳很容易证明这个恒等式,因此适用于极限:如果左边的无穷级数收敛,则右边的无穷连分式也收敛。
如果$x = \cfrac{1}{1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots}}}}\,$是一个复连分式且渐近分数的分母$B_i$都不为0,则渐近分数序列$\{r_i\}$满足递推$r_i = -\frac{a_{i+1}B_{i-1}}{B_{i+1}}.\,$
$x = \cfrac{1}{1 + \cfrac{a_2}{b_2 + \cfrac{a_3}{b_3 + \cfrac{a_4}{b_4 + \ddots}}}} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{r_1}{1 + r_1 - \cfrac{r_2}{1 + r_2 - \cfrac{r_3}{1 + r_3 - \ddots}}}}\,$
$x = 1 + \sum_{i=1}^\infty r_1r_2\cdots r_i = 1 + \sum_{i=1}^\infty \left( \prod_{j=1}^i r_j \right)\,$
这里,等式应理解为等价,即连分式的第n个渐近分数等于级数的第n个部分和。因此,如果所示的级数是收敛的或一致收敛的,当$a_i$和$b_i$是某种复变量z的函数时,则连分数也会收敛,或一致收敛。
例如指数函数$e^z$是一个具有幂级数展开的整函数,它在复平面上的每个有界域上都是一致收敛的。
$e^z = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^\infty \left(\prod_{j=1}^n \frac{z}{j}\right)\,$直接应用欧拉恒等式得$e^z = \cfrac{1}{1 - \cfrac{z}{1 + z - \cfrac{\frac{1}{2}z}{1 + \frac{1}{2}z - \cfrac{\frac{1}{3}z} {1 + \frac{1}{3}z - \cfrac{\frac{1}{4}z}{1 + \frac{1}{4}z - \ddots}}}}}.\,$
用恒等变形化简为$e^z = \cfrac{1}{1 - \cfrac{z}{1 + z - \cfrac{z}{2 + z - \cfrac{2z}{3 + z - \cfrac{3z}{4 + z - \ddots}}}}}\,$可以肯定,这个连续分数在复平面的每个有界域上都是一致收敛的,因为它等价于$e^z$的幂级数。

在z=1的邻域内,自然对数的主分支的泰勒级数是众所周知的。注意到log(a/b)=log(A)-log(B),很容易导出:$\log \frac{1+z}{1-z} = 2\left(z + \frac{z^3}{3} + \frac{z^5}{5} + \cdots\right) = 2\sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n+1}}{2n+1}.\,$
当|z|<1时,该级数收敛,也可以表示为乘积之和:
$\begin{align} \log \frac{1+z}{1-z} & = 2z \left[1 + \frac{z^2}{3} + \frac{z^4}{5} + \cdots\right] \\[8pt] & = 2z \left[1 + \frac{z^2}{3} + \left(\frac{z^2}{3}\right)\frac{z^2}{5/3} + \left(\frac{z^2}{3}\right)\left(\frac{z^2}{5/3}\right)\frac{z^2}{7/5} + \cdots\right] \end{align}$
由欧拉恒等式得$\log \frac{1+z}{1-z} = \cfrac{2z}{1 - \cfrac{\frac{1}{3}z^2}{1 + \frac{1}{3}z^2 - \cfrac{\frac{3}{5}z^2}{1 + \frac{3}{5}z^2 - \cfrac{\frac{5}{7}z^2}{1 + \frac{5}{7}z^2 - \cfrac{\frac{7}{9}z^2}{1 + \frac{7}{9}z^2 - \ddots}}}}}\,$化简得$\log \frac{1+z}{1-z} = \cfrac{2z}{1 - \cfrac{z^2}{z^2 + 3 - \cfrac{(3z)^2}{3z^2 + 5 - \cfrac{(5z)^2}{5z^2 + 7 - \cfrac{(7z)^2}{7z^2 + 9 - \ddots}}}}}.\,$由于等价,当|z|<1时,该级数收敛
我们可以使用前面自然对数函数的主分支的例子来构造π的连分数表示。注意到
$\frac{1+i}{1-i} = i \quad\Rightarrow\quad \log\frac{1+i}{1-i} = \frac{i\pi}{2}.\,$
令z=i得$\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 + \ddots}}}}}.\,$

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