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[数列] 一个数列的上界

数列${a_n}$满足$a_1=3,a_{n+1}=(1+\frac{1}{n^2(n+1)^2})a_n+\dfrac{1}{4^n}$,
证明:$a_n<6$.(参考数据:$e^\dfrac{7}{20}≈1.419$)
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这个不难,也无需用到那参考数值。

易得 `a_2=4`,显然 `a_n` 递增,故当 `n\geqslant2` 时 `a_n\geqslant4`,又显然
\[\frac1{n^2(n+1)^2}<\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2},\]所以当 `n\geqslant2` 时有
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac1{n^2(n+1)^2}+\frac1{4^na_n}<1+\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}+\frac1{4^{n+1}},\]于是
\begin{align*}
\frac{a_{n+1}}{a_2}
&<\prod_{k=2}^n\left( 1+\frac1{k^2}-\frac1{(k+1)^2}+\frac1{4^{k+1}} \right)\\
&<\left( \frac1{n-1}\sum_{k=2}^n\left( 1+\frac1{k^2}-\frac1{(k+1)^2}+\frac1{4^{k+1}} \right) \right)^{n-1}\\
&=\left( 1+\frac1{n-1}\left( \frac1{2^2}-\frac1{(n+1)^2}+\frac1{48}\left( 1-\frac1{4^{n-1}} \right) \right) \right)^{n-1}\\
&<\left( 1+\frac1{n-1}\left( \frac14+\frac1{48} \right) \right)^{n-1}\\
&<\left( 1+\frac1{n-1}\cdot\frac13 \right)^{n-1}\\
&<\sqrt[3]e,
\end{align*}所以
\[a_n<a_2\sqrt[3]e=4\sqrt[3]e<4\sqrt[3]3<4\sqrt[3]{\frac{27}8}=6.\]
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 2# kuing

呆变形,笨重的感觉

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回复 3# 力工

这答案和我都想到了将 `a_n` 除过去,而我之后是连乘+放缩裂项+均值,他是取对数+放缩+累加,相比之下,我的处理很简洁,他的比较复杂而且不够紧,以至于要保留到 `a_3`,数字就难看了。
本质上,其实两种处理方法大致是相通的,而之所以我的更紧,关键在于我的 1/n^2(n+1)^2<1/n^2-1/(n+1)^2 比他降次裂项更紧,因此,如果他也用上这个,应该也不需要用 `a_3`。

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