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四阶循环行列式

\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a & b & c & d \\
b & c & d & a \\
c & d & a & b \\
d & a & b & c \\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
b^2+d^2-2 a c & a^2+c^2-2 b d \\
a^2+c^2-2 b d & b^2+d^2-2 a c \\
\end{vmatrix}\\
\\
\begin{vmatrix}
a & b & c & d \\
d & a & b & c \\
c & d & a & b \\
b & c & d & a \\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a^2+c^2-2 b d & b^2+d^2-2 a c \\
b^2+d^2-2 a c & a^2+c^2-2 b d \\
\end{vmatrix}
\end{align*}
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$\begin{vmatrix}
a & b & c & d \\
b & c & d & a \\
c & d & a & b \\
d & a & b & c \\
\end{vmatrix}
=(a+b+c+d)
\begin{vmatrix}
1 & b & c & d \\
1 & c & d & a \\
1 & d & a & b \\
1 & a & b & c \\
\end{vmatrix}
=(a+b+c+d)\begin{vmatrix}
c-b & d-c & a-d \\
d-b & a-c & b-d \\
a-b & b-c & c-d \\
\end{vmatrix}$

$=(a+b+c+d)(a-b+c-d)\begin{vmatrix}
1 & d-c & a-d \\
0 & a-c & b-d \\
1 & b-c & c-d \\
\end{vmatrix}
=(a+b+c+d)(a-b+c-d)\begin{vmatrix}
a-c & b-d \\
b-d & c-a \\
\end{vmatrix}
$

$=-(a+b+c+d)(a-b+c-d)((a-c)^2+(b-d)^2)$

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本帖最后由 Czhang271828 于 2022-2-20 13:06 编辑

记一般循环方阵 $(a_{ij})_{n\times n}$ 满足 $a_{ij}=b_{j-i}$, 其中 $j-1$ 在模 $n$ 下等价. 记矩阵

$$
Z:=\begin{pmatrix}
0^{n-1}&I_{n-1}\\
1&(0^{n-1})^T
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&1&0&\cdots &0\\
0&0&1&\cdots &0\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\
1&\cdots&\cdots&\cdots&0
\end{pmatrix}
$$

则代求矩阵即 $\sum_{k=0}^{n-1}b_k Z^k=:f(Z)$. 从而相应的特征值为 $f(\omega)$, 其中 $\omega=e^{2\pi i/n}$.

因此 $f(Z)$ 的行列式为 $\prod_{k=0}^{n-1}f(\omega^k)$.

例如
$$
\begin{align*}
&\det\begin{pmatrix}a&b&c&d\\d&a&b&c\\c&d&a&b\\b&c&d&a\end{pmatrix}\\
=&\prod_{k=0}^3(a+b(\omega^j)+c(\omega^j)^2+d(\omega^j)^3)\\
=&(a+b+c+d)(a+bi-c-di)(a-b+c-d)(a-bi-c+di)
\end{align*}
$$
无钱佮歹看、无样佮歹生、无汉草佮无文采、无学历佮无能力、无高度无速度无力度共闲无代记。(闽南话)
口号:珍爱生命,远离内卷。

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