\begin{align*}
\begin{vmatrix}
a & b & c & d \\
b & c & d & a \\
c & d & a & b \\
d & a & b & c \\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
b^2+d^2-2 a c & a^2+c^2-2 b d \\
a^2+c^2-2 b d & b^2+d^2-2 a c \\
\end{vmatrix}\\
\\
\begin{vmatrix}
a & b & c & d \\
d & a & b & c \\
c & d & a & b \\
b & c & d & a \\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a^2+c^2-2 b d & b^2+d^2-2 a c \\
b^2+d^2-2 a c & a^2+c^2-2 b d \\
\end{vmatrix}
\end{align*}
$\begin{vmatrix}
a & b & c & d \\
b & c & d & a \\
c & d & a & b \\
d & a & b & c \\
\end{vmatrix}
=(a+b+c+d)
\begin{vmatrix}
1 & b & c & d \\
1 & c & d & a \\
1 & d & a & b \\
1 & a & b & c \\
\end{vmatrix}
=(a+b+c+d)\begin{vmatrix}
c-b & d-c & a-d \\
d-b & a-c & b-d \\
a-b & b-c & c-d \\
\end{vmatrix}$