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[几何] 寻找三直线斜率的关系

已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$及$A(m,0),B(\dfrac{a^2}{m},n)$(其中$|m|\ne a$),直线$l$过点A且与椭圆交于不同的两点$P,Q$,设直线$PB,QB,AB$的斜率分别为$k_1,k_2,k_0$,问$k_1+k_2$与$k_0$有什么关系?
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自己看你以前这帖看有没有用得上的 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5846

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回复 2# kuing
两个贴子的三条直线是不一样的哩

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回复 3# lemondian

我没说它们是一样的,我只是说,看看有没有用得上的东西。

事实上,很明显帖中 2# 的式 (*) 就可以用上,在式 (*) 中代入 `(A,B,m,n,s,t)\to(1/a^2,1/b^2,m,0,a^2/m,n)`,化简后,再用韦达,最终可得
\[k_1+k_2=\frac{2mn}{a^2-m^2},\]而这里的 `k_0=n/(a^2/m-m)=mn/(a^2-m^2)`,所以结论就是 `k_1+k_2=2k_0`。

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另外,如无意外,这结论也和调和分割有关,于是顺便再贴一个链接:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5937,里面的东西应该也有用得上的。

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回复 4# kuing
谢谢kuing。
我直接设直线方程来算,运算量大,不知有没有其它做法?

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另外:
已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$及$A(m,0)$(其中$|m|\ne a$),直线$l$过点A且与椭圆交于不同的两点$P,Q$,是否存在点$B$,当直线$PB,QB,AB$的斜率分别为$k_1,k_2,k_0$,使得$k_1+k_2=\lambda k_0$?或者三斜率有其它关系(如$k_1k_2=\lambda k_0$)等等?

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本帖最后由 力工 于 2019-11-6 21:30 编辑

交比与斜率差比相关,但没这么简洁的表示,我联不上气啊。

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回复 8# 力工

过 `B` 作 `x` 轴的垂线,各交点如图所示。
捕获.PNG
2019-11-6 23:08

由 `A`, `B` 的横坐标可知,`A` 的极线就是刚作的这条垂线,所以 `P`, `A`, `Q`, `R` 调和,从而 `S`, `A`, `T`, `U` 也调和,根据调和点列的性质有 `1/US+1/UT=2/UA`,两边乘 `BU` 就是 `k_1+k_2=2k_0`。

就这么简单
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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