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[不等式] 方程的根的取值范围

本帖最后由 hbghlyj 于 2019-10-26 22:05 编辑

\[a,b,c \in {R^ + },f(x) = {x^3} - ({a^2} + {b^2} + {c^2})x - 2abc,\](1)求证:f(x)有三个实根;(2)设f(x)的三个根分别为${{\text{x}}_0},{x_1},{x_2},{x_0} \geqslant {x_1} \geqslant {x_2},$求$\frac{{{\text{x}}_1^3 + {\text{x}}_2^3}}{{{\text{x}}_0^3}}$的取值范围
我想问(2)有没有最小值,(2)的最大值证明如下
当a=b=c时,$\frac{{{\text{x}}_1^3 + x_2^3}}{{x_0^3}} = \frac{{2 \cdot {{\left( { - 1} \right)}^3}}}{{{2^3}}} =  - \frac{1}{4}$.下证$\frac{{{\text{x}}_1^3 + x_2^3}}{{x_0^3}} \leqslant  - \frac{1}{4}$
由韦达定理${{\text{x}}_0} + {{\text{x}}_1} + {{\text{x}}_2} = 0,{{\text{x}}_0}{x_1}{x_2} = 2abc,x_0^3 + x_1^3 + x_2^3 = 3{x_0}{x_1}{x_2} = 6abc,$
$\frac{{{\text{x}}_1^3 + x_2^3}}{{x_0^3}} =  - 1 + \frac{{6abc}}{{x_0^3}} \leqslant  - \frac{1}{4} \Leftrightarrow {x_0} \geqslant 2\sqrt[3]{{abc}},$
又f(x)在$\left[ {0,\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} } \right]$上严格递减,在$\left[ {\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} , + \infty } \right)$上严格递增,
故f$\left( {\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}} } \right) < f\left( 0 \right) < 0$,由于$\mathop {\lim }\limits_{{\text{x}} \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty ,$只需证${\text{f}}\left( {2\sqrt[3]{{abc}}} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow 8{\text{abc}} \leqslant 2\sqrt[3]{{abc}}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2abc \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \leqslant {a^2} + {b^2} + {c^2}$,由均值不等式成立.

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