依题意,由正弦定理有
\[\frac{\sin^2A}A=\frac{\sin^2B}B=\frac{\sin^2C}C,\]令 `f(x)=\sin^2x/x`, `x\in(0,\pi)`,不难证明其先增后减,可见至少有两个角相等,不妨设 `A=B`,则
\[\cos A=\frac{\sqrt C}{2\sqrt A}=\frac{\sqrt{\pi-2A}}{2\sqrt A},\]上述方程通过目测可发现有三个解 `A_1=\pi/2`, `A_2=\pi/3`, `A_3=\pi/4`,当然 `A_1` 得舍去,所以至少有两种三角形符合题意:正三角形、等腰直角三角形。
但是,如何证明那方程再无其他解?待续…… |