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[函数] 三道函数题

本帖最后由 hbghlyj 于 2019-10-27 22:42 编辑

(1)实数a使得方程$4^x-4^{-x}=2\cos{ax}$恰有两个实根,试问,对于这个a,方程$4^x-4^{-x}=2\cos{ax}+4$有多少个实根?
(2)求不等式${2010^x} + {\log _{2010}}\left( {x + 1} \right) > {\log _{\frac{x}{{x + 2}}}}2010 + {\sin ^{2010}}x + {\cos ^{2010}}x$的实数解
(3)求函数$f(x)=x^2-3x+3+\sqrt{2(x-1)^4-18(x-1)^2+12x+56}$的值域

本帖最后由 hbghlyj 于 2019-10-27 23:45 编辑

回复 1# hbghlyj
刚才筭出了(3):
$f(x+1)=x^2-x+1+\sqrt{2x^4-18x^2+12x+68}=1+\sqrt2\left(\frac{x^2-x}{\sqrt2}+\sqrt{(x^2-5)^2+(x+3)^2}\right)$
P$(x,x^2)$是$y=x^2$上的点,A是y=x上的点,B(-3,5),$\left(\frac{x^2-x}{\sqrt2}+\sqrt{(x^2-5)^2+(x+3)^2}\right)$=APB最小值是$4\sqrt2$,f(x)$\in[9,\infty)$,当且仅当x=-1或x=2时取最小值

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本帖最后由 业余的业余 于 2019-10-28 02:16 编辑

试一下:
(1) 不妨把问题变形为 $\sinh kt = \cos t$ (令 $t=ax, k=\frac {\ln 4}{a})$, 通过变化 $k$ 的值,可以把双曲正弦的图像收紧或展开。画图,目测 只能是 $t>0$ 时有且只有一个交点,$t<0$时两图像相切。这时把余弦的图像往上移一个很小的位移,就会变成只有一个交点。这应该就是答案。

如过要严格,需要证明当某个 $k$ 使得 $t>0$ 时有两个交点时,$t<0$ 不可能没有交点。
显然,如果 $t>0$ 时有且仅有两个交点,则第二个交点必在 $t=2\pi$ 处 此时有 $\sinh 2\pi k=1$, 则 $\sinh (-2\pi k)=-1$, 可根据介质定理证明 $g(t)=\sinh kt-\cos t$ 在 $(-\pi, 0)$ 之间有个零点,因为函数值在两端异号。得证。



(2) 原不等式等价于 $2010^x+\cfrac {ln(1+x)}{\ln 2010}+\cfrac {\ln 2010}{\ln(x+2)-\ln x}>\sin^{2010}x+\cos^{2010}x$
显然定义域为 $(0,+\infty)$, 且不等式的左边恒大于 $1$. 如果我们能证明不等式的右边不大于 $1$, 则不等式在定义域内都成立。

下面我们证明这一结论。一般地,对大于等于$2$ 的实数 $a$, 有$\sin^a x + \cos^a x\le|\sin^a x + \cos^a x|\le 1$
$|\sin^a x + \cos^a x|\le |\sin^a x| + |\cos^a x|\le |\cos^2 x|+|\sin^2 x|=1$

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