本帖最后由 业余的业余 于 2019-10-28 02:16 编辑
试一下:
(1) 不妨把问题变形为 $\sinh kt = \cos t$ (令 $t=ax, k=\frac {\ln 4}{a})$, 通过变化 $k$ 的值,可以把双曲正弦的图像收紧或展开。画图,目测 只能是 $t>0$ 时有且只有一个交点,$t<0$时两图像相切。这时把余弦的图像往上移一个很小的位移,就会变成只有一个交点。这应该就是答案。
如过要严格,需要证明当某个 $k$ 使得 $t>0$ 时有两个交点时,$t<0$ 不可能没有交点。
显然,如果 $t>0$ 时有且仅有两个交点,则第二个交点必在 $t=2\pi$ 处 此时有 $\sinh 2\pi k=1$, 则 $\sinh (-2\pi k)=-1$, 可根据介质定理证明 $g(t)=\sinh kt-\cos t$ 在 $(-\pi, 0)$ 之间有个零点,因为函数值在两端异号。得证。
(2) 原不等式等价于 $2010^x+\cfrac {ln(1+x)}{\ln 2010}+\cfrac {\ln 2010}{\ln(x+2)-\ln x}>\sin^{2010}x+\cos^{2010}x$
显然定义域为 $(0,+\infty)$, 且不等式的左边恒大于 $1$. 如果我们能证明不等式的右边不大于 $1$, 则不等式在定义域内都成立。
下面我们证明这一结论。一般地,对大于等于$2$ 的实数 $a$, 有$\sin^a x + \cos^a x\le|\sin^a x + \cos^a x|\le 1$
$|\sin^a x + \cos^a x|\le |\sin^a x| + |\cos^a x|\le |\cos^2 x|+|\sin^2 x|=1$ |